9.5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ГОРИЗОНТ

До сих пор в этой главе мы считали временной горизонт (характеризуемый величиной неизменным и заранее заданным. И хотя многие проблемы принятия решений приемлемо структуризуются при фиксированном горизонте, тем не менее очень часто бывает необходимо в явном виде использовать переменный или неопределенный горизонт. Личные долгосрочные решения, связанные с длительным отрезком, а может, и со всем периодом оставшейся жизни и касающиеся, например, выбора карьеры, создания необходимых сбережений или возможного размера пенсий, а также большинство медицинских решений, и т. п. являются типичными примерами, когда естественный горизонт проблемы (т. е. продолжительность жизни человека) является неопределенным. То же самое справедливо и для некоторых общественных или корпоративных решений, например решений, для которых естественным горизонтом будет время свершения предполагаемого технологического открытия. В последнем случае временной горизонт может частично (и даже полностью) находиться под контролем лица, принимающего решение: выделением необходимых ресурсов оно может повлиять на более раннее свершение таких событий.

Если горизонт не зафиксирован и вообще неизвестен, то нам приходится иметь дело с предпочтениями относительно потоков обладающих различной «длиной», т. е. различной продолжительностью. Основная схема для сравнения лотерей, исходами которых являются потоки одинаковой продолжительности, уже была нами рассмотрена, постараемся теперь расширить и перенести использовавшийся нами метод на потоки с различной протяженностью.

Пусть значения критерия характеризующего величину горизонта, изменяются в пределах от до соответственно минимально и максимально возможной величины горизонта для рассматриваемой проблемы принятия решения. В принципе мы можем построить условные функции полезности и для каждого значения Для этого просто нужно применить тот же прием, описанный нами ранее, для каждого значения отдельно: мы фиксируем и квантифицируем наши предпочтения для всех возможных потоков этой протяженности. В результате получаем функцию далее мы повторяем этот процесс для другого значения до тех пор, пока не получим семейство условных функций полезности

Однако эти условные полезности, связанные с различными значениями пока еще нельзя непосредственно использовать при принятии решений, поскольку они не описывают наши предпочтения для различных Поэтому нам нужны совместные (объединенные) полезности которые бы описывали наши предпочтения одновременно для потоков и горизонта Поскольку функция для каждого данного должна быть стратегически эквивалентна функции и для решений, связанных

только с то отсюда следует, что должна быть положительной линейной функцией от с коэффициентами, которые могут зависеть от но не от

Уравнение (9.26) является ооновным инструментом для анализа решений с неопределенным горизонтом. Нам остается только выяснить, как построить и изучить особые структуры полезности, которые вытекают из упрощающих допущений о независимости.

Рассмотрим проблему принятия решения, в которой мы должны выбрать одну лотерею из набора лотерей Пусть при выборе лотереи плотность вероятности появления потока равна тоцца мы должны выбрать ту лотерею, которая максимиризует ожидаемую полезность

Теперь мы можем выделить два класса проблем принятия решения:

1. Проблемы, в которых временной горизонт, помимо того, что он является неопределенным, полностью нам неподвластен. Это соответствует утверждению, что каждая лотерея должна иметь одно и то же маргинальное распределение вероятностей для т. е.

2. Проблемы, в которых наш выбор лотереи может повлиять на временной горизонт, т. е. соотношение (9.28) перестает быть справедливым для всех возможных лотерей.

Для проблем класса 1 функция входящая в выражение (9.26), не влияет на наше решение и поэтому нет необходимости в ее построении. Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить выражение (9.26) в соотношение (9.27) и воспользоваться условием (9.28). В итоге получаем, что ожидаемая полезность лотереи зависит от только через аддитивную постоянную которая сама не зависит от Следовательно, функция не оказывает никакого стратегического влияния в таких ситуациях: она существенна только для тех задач принятия решения, в которых временной горизонт может изменяться в зависимости от нашего решения.

Вытекающие отсюда следствия, облегчающие построение функций очевидны: для построения можно воспользоваться равноценными лотереями, в которых мы не можем повлиять на временной горизонт, но для построения нам потребуется определить замещения между уровнями (равномерных, например) потоков и их протяженностью. Существуют, конечно, самые разнообразные способы реализации этих идей, мы в качестве конкретного примера рассмотрим подход, который может

быть полезен при анализе ситуаций с равномерными потоками и где при прочих равных условиях более дальний горизонт предпочитается более близкому.

Прежде всего для каждого рассмотрим две лотереи, (см. рис. 9.1). В обеих лотереях с одной и той же вероятностью 1/2 реализуются горизонты протяженностью

Рис. 9.1. Квантификация предпочтений для лотерей, исходы в которых относятся к различным временнйм горизонтам

В мы получаем либо («лучшее») последствие, в котором х представляет собой уровень равномерного потока, в то время как временной горизонт составляет либо («наихудшее») последствие, в котором есть уровень равномерного потока и временной горизонт равен мы получаем некоторое «промежуточное» последствие , представляющее собой уровень равномерного потока при тех же значениях горизонта. Приступая к процессу квантификации, опрашиваемому лицу задается вопрос типа: «При каком значении § Вам безразличен выбор между Если мы получим ответы на этот вопрос для каждого то тем самым мы определим некоторую совокупность равноценных последствий что позволит нам вычислить но с точностью до постоянного множителя. Действительно, ожидаемые полезности, вычисляемые с помощью соотношения (9.26), для будут следующими:

Поскольку величина была определена так, чтобы имело место

Это полностью определяет с точностью до постоянного множителя, равного, например, в

Перейдем теперь к построению Для построения нам достаточно найти наиболее простые возможные замещения между уровнем х равномерного потока и протяженностью временного горизонта в условиях определенности. Рассмотрим два потока

Мы ищем для каждого такой уровень , при котором нам безразличен выбор между этими двумя потоками. Это дает нам совокупность равноценных последствий таких, что

Поскольку уже нам известно и определяется выражением то мы можем теперь найти с помощью соотношения (9.30), но только с точностью до аддитивной постоянной, которую мы обозначим как Чтобы определить то и воспользуемся условиями нормализации На этом процесс построения завершается.

Наконец, нам остается рассмотреть следствия, вытекающие из допущений о независимости по полезности для случая меняющегося или неопределенного горизонта. В § 9.3, 9.4 мы рассматривали ситуации, когда при фиксированном горизонте решения о «будущем» не зависели от «прошлого» Теперь естественным образом распространим эти условия на случай переменных горизонтов и потребуем, чтобы наши совместные предпочтения относительно потока и горизонта были независимы от для любого Кроме того, мы можем обобщить результаты § 9.3 и 9.4. Например, мультипликативня форма в теореме 9.2 (см. выражение может, как показал Ричард (1972), быть обобщена следующим образом:

Пусть не зависит по полезности от для и пусть не зависит по полезности от при фиксированной протяженности горизонта Тогда

Этому результату могут быть даны весьма интересные интерпретации. Отметим, во-первых, что функции не зависят от дротяженности горизонта так что их можно построить на основе выяснения вопроса о замещениях в период независимо от

Функции сотоветствуют полезностям «конечного состояния»; например, для личных решений экономического характера они соответствуют полезности «оставляемого наследства» к концу жизни. Одна такая функция полезности «наследства» должна быть построена для каждой возможной «продолжительности жизни».

Во-вторых, заметим, что выражение (9.31) не содержит в себе аддитивной функции от в том смысле, как это имеет место для в выражении (9.26). Из этого следует, что все функции в (9.31) могут быть построены без решения вопросов, связанных с замещениями между уровнями равномерных потоков потребления и их продолжительностью И все-таки функция (9.31), будучи полностью построенной, может быть использована для получения ответов на вопросы, которые связаны с такими замещениями! Иными словами, даже не делая выбора между альтернативами, которые затрагивают «продолжительность» нашей жизни, мы тем не менее получаем информацию, которая показывает, в какой мере мы согласны уменьшить уровень своего потребления, чтобы увеличить продолжительность «нашей жизни», если мы верим тем допущениям о независимости, которые ведут к соотношению (9.31).

Это показывает, насколько далеко идущими могут быть такие допущения о независимости и насколько нужно быть осторожным при проверке того, действительно ли приемлемы все вытекающие из них последствия.

Те результаты, связанные с полусепарабельностью, которые были рассмотрены в § 9.4, могут быть обобщены подобным образом, и из них вытекают не менее интересные свойства, аналогичные рассмотренным выше. Если опустить второе из условий, на которых основывается соотношение (9.31), то, как показано в приложении функция совместной полезности имеет вид

Проблема квантификации предпочтений при сводится к построению двух функций для каждого возможного пода «жизни», и к построению одной функции для каждого возможного года «смерти»,