ГЛАВА 6. ПРЕДПОЧТЕНИЯ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ: МНОГОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ

По своему содержанию эта глава во многом перекликается с предыдущей, пятой главой. Однако теперь мы рассматриваем многомерные функции полезности, зависящие более чем от двух аргументов. Обзор проблемы, обсуждаемой как в данной главе, так и в предыдущей, был приведен в § 5.1. Там же обсуждались такие процедуры построения многомерных функций полезности, которые

не связаны с предварительным установлением вида функциональной зависимости. Как отмечалось в § 5.1, эти процедуры пригодны для построения функций полезности, зависящих как от двух, так и от большего числа переменных. Поэтому в данной главе мы рассмотрим влияние различных допущений (об аддитивной независимости, независимости по предпочтению, независимости полезности относительно факторов на вид функции полезности

где фактическое значение фактора скалярная функция, а - функция полезности для фактора Представленные ниже результаты обобщают различные функциональные формы вида (6.1), полученные для определенных наборов допущений Фишберном (1965а, 1966, 1971), Кини (1968, 1972а, 1974), Мейером (1970), Поллаком (1967) и Райфа (1969).

6.1. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ

Важность результатов данной главы с прикладной точки зрения определяется тем, что рассматриваемые допущения представляются удобными для проверки и вполне приемлемыми во многих реальных задачах. Более того, нахождение в этих случаях численных значений функции полезности значительно упрощается. В этой главе также рассматриваются некоторые вопросы взаимосвязи между различными условиями независимости. Эта взаимосвязь имеет большое прикладное значение, поскольку позволяет получить более простые необходимые и (или) достаточные условия существования определенных видов функции полезности.

6.1.1. Обозначения. Для удобства изложения материала данной главы введем некоторые новые обозначения. Важнейшие из них приведены ниже.

Факторы. Исходные факторы чаще всего будут обозначаться символами где может выступать и как скалярный, и как векторный фактор. Начиная с § 6.7, будет использоваться особо выделяемый нами фактор который по смыслу отличается от остальных факторов —

Множества факторов. Рассматриваемое множество факторов X обозначается При использовании фактора он также включается в множество Если множество факторов У является подмножеством множества X, то множество У будет именоваться просто фактором У.

Дополняющие друг друга множества факторов. Если два множества факторов, например являются разбиением X, то будем называть дополняющими друг друга. Часто дополнение к множеству У будет обозначаться через

Независимость по предпочтению и независимость по полезности. Независимость по полезности множества факторов от его дополнения для сокращения будем обозначать а независимость по предпочтению множества факторов от его дополнения как Такая запись будет использоваться в тех случаях, когда она не приводит к двусмысленности. Кроме того, следует постоянно помнить, что оба обозначения и подразумевают независимость относительно дополнений к упоминаемым множествам факторов.

Последствия. Пространство последствий представляет собой прямоугольное подмножество конечномерного евклидова пространства. Сами последствия обозначаются через где конкретное значение фактора Говоря о подмножестве У из X и его дополнении , последствие х часто будем обозначать через Так, например, когда то

Функции полезности. Так же, как и в предыдущих главах, в данной главе будет предполагаться, что допущения, обеспечивающие существование функции полезности, например, такие, как аксиомы фон Неймана и Моргенштерна (1947), справедливы. Кроме того, будем предполагать, что функция полезности и непрерывна по каждому и ограничена. При изложении будут использоваться следующие эквивалентные обозначения функции полезности:

Шкалирование. Символами будут обозначаться соответственно наиболее и наименее желательные последствия. Шкала для функций полезности обычно выбирается так, чтобы выполнялось Во избежание многократного повторения нулевых индексов иногда будут использоваться нестрогие обозначения. Например, функции иногда будут обозначаться через соответственно. Это значит, что значения всех факторов, не входящих в качестве аргументов в эти функции, принимаются равными наименее желательным значениям. Конечно, такая система обозначений не является согласованной в строгом смысле, но из контекста будет понятен смысл обозначений, и авторы надеются, что это позволит избежать возможных недоразумений.

6.1.2. Понятие независимости. Дадим необходимые обобщения введенных в предыдущих главах понятий независимости по предпочтению и независимости по полезности.

Определение. Фактор не зависит по предпочтению от своего дополнения Р, если порядок предпочтения последствий, различающихся лишь значениями факторов из У, не зависит от фиксированных значений факторов из У.

Независимость по предпочтению подразумевает, что условные кривые безразличия, заданные на У, не зависят от факторов . Это понятие касается предпочтений лица, принимающего решение, относительно лишь тех последствий, которые не связаны с

какой-либо неопределенностью. Формально независимость по предпочтению определяется следующим образом: тогда и только тогда, когда для любых последствий справедливо

Независимость по полезности связана с предпочтениями относительно лотерей, т. е. здесь уже предполагается наличие неопределенности.

Определение. Фактор У не зависит по полезности от своего дополнения У, если условный порядок предпочтения лотерей, исходы которых различаются лишь значениями факторов из У, не зависит от фиксированных значений факторов из .

Формально это определение может быть записано следующим образом: тогда и только тогда, когда для любых лотерей и последствия справедливо

Из определения следует, что если то Обратное утверждение не всегда справедливо. Это легко понять, заметив, что вырожденные лотереи, в которых отсутствует неопределенность, идентичны самим последствиям. Следовательно, условие независимости по предпочтению может быть сформулировано в терминах порядка предпочтения только для вырожденных лотерей. Поскольку условие независимости по полезности, если оно справедливо, должно выполняться для всех лотерей, в том числе и для вырожденных, то, действительно, влечет Независимость по полезности является более сильным условием.

Если фактор У не зависит по предпочтению от фактора У и задана функция полезности и, то

где — произвольное фиксированное значение у. Аналогично, если фактор У не зависит по полезности от У, то поскольку функции полезности единственны с точностью до положительного линейного преобразования, справедливо следующее выражение:

где функция всегда положительна, а -произвольно выбранное, но фиксированное значение фактора У. В общем случае функции зависят от выбранного значения у, но не зависят от переменной у.

На протяжении всей этой главы, как отмечалось ранее, для простоты функция полезности будет считаться шкалированной в пределах от 0 до 1. Таким образом,

где - наименее предпочтительные значения факторов , а — наиболее предпочтительные значения тех же

факторов. Тогда, вычислив значение выражения (6.5) в точке найдем, что поэтому условие (6.5) можно переписать в виде

подставив в выражение (6.5) значение у, равное Выражения (6.4) и (6.6) будут использоваться в дальнейших доказательствах.

6.1.3. Структура главы. В следующем пункте приводится несколько теорем представления для случая трех факторов. Эти теоремы, во-первых, характеризуют некоторые положения, используемые при построении многомерных функций полезности, во-вторых, указывают вид ожидаемых результатов и, в-третьих, облегчают обоснование результатов остальной части главы. В § 6.3-6.5 приведены различные функциональные виды функций полезности для факторов, обусловленные различными наборами условий независимости по предпочтению и по полезности. В этих же параграфах приводится описание процесса построения таких функций полезности. В § 6.7-6.10 обобщаются и связываются воедино понятия независимости по предпочтению и по полезности. В § 6.11 допущения об условных предпочтениях используются для распространения полученных результатов на иерархические структуры факторов. Знакомство с § 6.1-6.6 (даже и без знакомства с доказательствами) облегчит для читателя переход к изучению последующих глав.