5.4. СЛЕДСТВИЯ ВЗАИМНОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ПО ПОЛЕЗНОСТИ

В этом параграфе будут установлены возможные функциональные формы для функции полезности при взаимонезависимости по полезности факторов . Сначала покажем, какие ограничения накладывает это допущение на вид функции и . Затем обсудим, каким образом в получаемой функции учитываются возможные виды взаимозависимости предпочтений лица, принимающего решение, для двух факторов.

В представленных в этом и следующих параграфах теоремах и доказательствах четко выделено, что именно необходимо найти с помощью эмпирической оценки для полного определения функции полезности. Поэтому получаемые результаты оказываются более громоздкими, поскольку нас интересует не только чисто математическая их сторона, но и аспекты, связанные с эмпирической оценкой.

В гл. 5 и 6 представлены формальные алгебраические доказательства теорем. Хотя такие доказательства позволяют получить результаты, справедливые для общего случая, они не столь наглядны, как менее формальные. За счет некоторой потери общности могут быть получены более наглядные доказательства. По этой причине, в некоторых случаях, особенно в начале обсуждения независимости по полезности, в дополнение к основным алгебраическим будут предложены более наглядные, но менее формальные доказательства.

Из выражения (5.7) видно, что допущение о взаимной независимости по полезности формально может быть выражено через функции полезности следующим образом:

при произвольно выбранном значении и

при произвольно выбранном значении Выражение (5.14) показывает, что фактор У не зависит по полезности от фактора а (5.15), что Z не зависит по полезности от У.

5.4.1. Полилинейная функция полезности. В случае, когда взаимонезависимы по полезности, функция полезности может быть представлена в полилинейной форме

где функции имеют одинаковое начало отсчета и обладают согласованными шкалами (согласованно шкалированы) за счет выбора согласованных значений шкалирующих констант Число аргументов у каждой из функций меньше, чем число аргументов у исходной функции и. Поэтому, если сформулированные допущения оказываются справедливыми, конкретное построение функции полезности и упрощается.

Рис. 5.4. Условие взаимной независимости по полезности позволяет полностью определить функцию на основе значений полезности последствий, выделенных на рисунке

Геометрическая интерпретация этого результата для случая, когда являются скалярными величинами, представлена на рис. 5.4. При справедливости указанных допущений полезность любого последствия, принадлежащего выделенному пространству последствий, однозначно определяется относительными полезностями тех последствий, которые выделены на рисунке жирным цветом.

Покажем, что это действительно так. Обратимся к рис. 5.4 и проделаем следующее:

1. Построим функции , обладающие согласованными значениями.

2. Для каждой точки может принимать значения обозначим значение функции и в ней символом Пусть А представляет собой произвольное последствие , обозначим и через

3. Выразим и а через Это можно сделать на основе соотношений между поскольку фактор У не зависит по полезности от фактора

4. Значение нам известно, но не известно значение Поэтому, принимая во внимание, что фактор Z не зависит по

полезности от фактора У, и используя значение полезностей выразим через

5. Теперь значение полезности «а выражено через известные значения полезностей

Если точка Л была первоначально выбрана так, что она не содержится в области, ограниченной точками , то, не много изменяя наши рассуждения, мы пришли бы к такому же результату. Опираясь на проведенные построения, докажем следующее утверждение.

Теорема 5.2. Если взаимонезависимы по полезности, та функция полезности от двух аргументов является полилинейной, в частности функция и может быть представлена в виде

или

где

1. Функция нормализована условиями для таких произвольных что .

2. — условная функция полезности на нормализованная равенствами .

3. — условная функция полезности на нормализованная равенствами

Доказательство. Зададим точку начала отсчета функции

Вычислим значение функции, задаваемой (5.14) в точке

Подставим (5.19) в (5.14) и вычислим в произвольной точке

откуда

Подставляя (5.19) и (5.20) в (5.14), получаем

Аналогично, находя значение функции , которая задаете выражением (5.15), последовательно в точках и произвольной точке получаем

Пользуясь выражением (5.22) в точке и подставляя полученный результат в (5.21), приходим к выражению

Равенство (5.23) может быть записано в виде выражения (5.16), где эмпирически оцениваемая константа, которая заедается следующим образом:

Чтобы шкалировать (т. е. выбрать шкалы их измерения) условные функции полезности нужным нам образом, введем функции в соответствии со следующими условиями:

где - положительные шкалирующие константы, а функции шкалированы в соответствии с утверждениями теоремы. Тогда, подставляя (5.25) в (5.16) и определяя получаем (5.17). Из (5.18) и (5.25) следует, что начальными значениями функций должны быть точки соответственно. Необходимо подчеркнуть, что никаких других ограничений на функциональный вид условных функций полезности не накладывается.

5.4.2. Использование кривых равного предпочтения. Поскольку проведение анализа с учетом лишь одного фактора может оказаться для лица, принимающего решение, непривычным, построение некоторых условных функций полезности, необходимых для использования выражения (5.16), может вызвать затруднения. Однако при этом иногда удается построить кривую равного предпочтения (кривую «безразличия»), которая представляет собой совокупность точек, одинаково предпочтительных для лица, принимающего решение. В этом параграфе будет показано, что вместо одной из условных функций полезности в теореме 5.2 можно использовать кривую равного предпочтения, если она построена в той же области последствий.

Для скалярных факторов на рис. 5.5 представлена геометрическая интерпретация такой замены. Докажем, что если взаимонезависимы по полезности, то знание значений условно»; функции полезности вдоль жирной вертикальной линии и в ярка выделенной на рисунке точке, а также кривой равного предпочтения позволяют однозначно определить функцию полезности и на соответствующем пространстве последствий.

1. Зададим и на положив и найдем значение для последствия Р.

Рис. 5.5. Условие взаимной независимости «по полезности позволяет полностью определить нкцию и на основе значений полезности последствий, выделенных жирными линиями и точкой Р

2. Тогда значение и в любой точке кривой равного предпочтения должно быть равно нулю.

3. Выберем произвольную точку А с координатами .

4. Используя независимость по полезности Z от У, а также известные значения и им, выразим через

5. Аналогично, выразим через используя известные значения .

6. Используя независимость по полезности У от а также соотношения между выразим через

Поскольку значения уже известны, доказательство можно считать завершенным. Если точка А была первоначально выбрана так, что она не содержится в области, ограниченной точками , то доказательство может быть аналогичным.

Теорема 5.3. Если взаимонезависимы, то

2. Функция определена так, что

где

такое произвольно выбранное последствие, которое? неравноценно последствию

Доказательство. Определим функцию таким образом, чтобы она описывала кривую равного предпочтения, т. е. чтобы множество пар для всех являлось кривой равного предпочтения для всех значений фактора У. Установим значение полезности для кривой равного предпочтения и начальное

значение функции и следующим равенством:

Обозначим через 20 значение Тогда, очевидно, -что согласуется с начальным значением функции и в теореме 5.2. Следовательно, чтобы найти функцию можно вычислить значение функции определяемой выражением (5.16), в точке и решить полученное уравнение относительно

Теперь, подставляя (5.29) в (5.16) и перегруппировывая соответствующие члены, получаем

Для того чтобы определить значение в выражении (5.24), необходимо знать значение Оценим значение полезности Для такого произвольного последствия которое неравноценно последствию Подставляя полученное значение полезности в (5.30), находим

откуда перегруппировкой получаем искомый результат.

5.4.3. Мультипликативное представление. Полилинейная форма в теореме 5.2 при условии имеет также и эквивалентное мультипликативное представление. Покажем это, проделав следующие преобразования:

В тех случаях, когда функции и являются условными функциями полезности для факторов , соответственно. Когда эти функции являются функциями полезности, взятыми со знаком минус. Таким образом, если два фактора взаимонезависимы по полезности, то их функция полезности может быть представлена либо в мультипликативной форме, если либо в аддитивной форме, если

5.4.4. Аддитивное представление. Представляется интересным исследовать случай, когда значение в выражении (5.16) равно нулю. В этом случае полилинейное представление сводится к аддитивному, которое обсуждалось в § 5.3. Следующая теорема позволяет разъяснить эту замену.

Теорема 5.4. Если взаимонезависимы по полезности и, кроме того,

при некоторых значениях таких, что последствие не равноценно ни последствию ни последствию то справедливо следующее представление функции полезности:

где функция нормализована условиями:

2. при произвольных значениях таких, что

Замечание А. При сделанных выше предположениях иная форма функции полезности задается выражением (5.17) с соответствующими условиями нормализации и равенством

Замечание Б. Необходимо пояснить различие в теоремах 5.1 и

5.4. В теореме 5.1 требуется, чтобы было выполнено условие равноценности лотерей для всех последствий . В теореме 5.4 требуется, чтобы это условие равноценности выполнялось лишь для одного набора из четырех точек. Однако, конечно, обе эти теоремы предполагают наличие взаимной независимости факторов по полезности.

Доказательство. Приравняем ожидаемые полезности указанных лотерей:

Подставив вместо значений полезности их представление в полилинейной форме (5.16) и проведя необходимые сокращения и перестановки, получаем следующее уравнение:

Поскольку то вследствие независимости по полезности и, аналогично, Следовательно, коэффициент должен быть равен нулю и выражение (5.16) сводится к аддитивной форме.

Из теоремы 5.4 становится ясно, что аддитивная независимость предполагает взаимную независимость по полезности, но обратное утверждение неверно. Аддитивная независимость, очевидно, является более сильным условием.

Следствие. Пусть справедливы те же самые предпосылки, что и в теореме 5.4. Тогда функция полезности может быть полностью определена при помощи

1. - условной функции полезности от Z при произвольном значении

2. Кривой равного предпочтения, построенной для всех значений У.

Доказательство. В этом случае а выражение (5.26) принимает вид

5.4.5. Параметр k; его смысл и интерпретация. Можно предложить довольно интересную интерпретацию параметра Рассмотрим две лотереи каждая из которых имеет равновероятные исходы (см. рис. 5.6).

Рис. 5.6. Использование лотерей для интерпретации члена, отражающего взаимодействие факторов в полилинейной функции полезности

Предположим, что предпочтительность исходов возрастает при увеличении значений каждого из факторов . Если в действительности это не так, то посредством простых преобразований, указанных в гл. 4, можно добиться выполнения этого требования. Используя для вычисления ожидаемых полезностей полилинейную форму функции полезности (5.16), легко показать, что

В определенном смысле исходы сформированы так, что первая лотерея приводит либо к высоким, либо к низким значениям обоих факторов . Напротив, в исходах мы получаем высокое (или низкое) значение для какого-то одного из факторов , но не для обоих сразу. Рассуждая таким образом придем к следующему: если из этих двух лотерей предпочтительнее то это значит, что при переходе от исхода А к исходу С увеличение фактора Z необходимо дополнить увеличением фактора У. В противном случае достоинство увеличения фактора Z не может быть полностью использовано. С другой стороны, большая предпочтительность лотереи подразумевает, что важно улучшить значение хотя бы одного фактора, т. е.

при заданном (например, высоком) значении фактора У увеличение предпочтительности исхода за счет увеличения значения фактора Z не так велико. Таким образом, факторы могут считаться взаимозаменяемыми.

Следующие два простых примера поясняют эту мысль для обоих случаев. Рассмотрим первый из них. Предположим, что президент корпорации руководит работой двух крупных отделений фирмы, которые выходят на совершенно различные рынки сбыта. Президент заинтересован в доходах как первого, так и второго отделения, характеризуемых факторами соответственно. Успехи этих отделений вероятнее всего для президента взаимозаменяемы. Если отделение 1 преуспевает в финансовом отношении, то президент, по-видимому, не будет беспокоиться об отделении 2 в такой степени, как он делал бы это при малоуспешном функционировании отделения 1. Если же деятельность обоих отделений прибыльна, то процветает и корпорация в целом.

Для иллюстрации другого случая рассмотрим поведение генерала, ведущего сражения на двух фронтах. Факторы соответственно отражают результаты действий на каждом из фронтов. При этом прорыв одного из фронтов приводит к столь же неутешительным последствиям, как и прорыв обоих. В этом случае исходы, приводящие к успеху или поражению на обоих фронтах, в сумме будут предпочтительнее исходов, приводящих к успеху на одном из них и поражению на другом. Следовательно, эти факторы взаимно дополняют друг друга. Дополнительность, рассматриваемая в таком контексте, является лишь более строгим, хотя и менее ярким, толкованием поговорки «цепь прочна ровно на столько, на сколько прочно ее слабейшее звено».

Смысл параметра может быть раскрыт еще глубже при помощи простого преобразования выражения (5.16)

Из полученного выражения (5.32) становится понятно, что если функция является возрастающей по то

Таким образом, если параметр отрицателен (положителен, равен нулю) и функция является возрастающей, то при возрастании лишь одного фактора Z полезность увеличивается меньше (больше, так же) для более предпочительных у. В этом смысле параметр может также интерпретироваться как указатель характера воздействия, которое оказывает значение одного фактора на значимость величины другого. При положительном более предпочтительные значения фактора У дополняются более предпочтительными значениями фактора Обратное утверждение верно при отрицательном значении В этом случае более предпочтительные значения снова можно

рассматривать как взаимозаменяемые. И, наконец, в аддитивном случае, когда не существует никакой взаимной зависимости в предпочтениях между показателями .