5.6. ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В СЛУЧАЕ ОДНОГО НЕЗАВИСИМОГО ПО ПОЛЕЗНОСТИ ФАКТОРА

В предыдущих параграфах исследовались возможные способы представления и оценки функций полезности для двух факторов при таких сильных допущениях, как взаимная независимость по полезности. В этом параграфе рассматривается использование более слабого допущения, при котором лишь один фактор не зависит по полезности от другого. Будет показано, что функция полезности для двух факторов может быть задана либо тремя одномерными условными функциями полезности, либо двумя условными функциями полезности и кривой равного предпочтения, либо одной условной функцией и двумя различными кривыми равного предпочтения. Кроме того, будут выделены особые случаи этих результатов, в том числе для аддитивной и полилинейной функций.

На протяжении всего этого параграфа показатели обозначаются через и используется предположение о том, что Z не зависит по полезности от У. Другими словами, при любом произвольном значении функция полезности и может быть представлена в виде

5.6.1. Построение функций полезности с помощью условных функций полезности. Начнем с иллюстрации предлагаемого подхода. Если Z не зависит по полезности от У, то функция полезности может быть полностью определена двумя условными функциями полезности для У и одной условной функцией полезности для Z при условии, что все эти функции согласованно шкалированы. Начнем со случая, когда представляют собой скалярные величины (см. рис. 5.7). Если установленные значения полезности последствий, расположенные вдоль жирных линий на рисунке, согласованы между собой, то этой информации

оказывается достаточно для оценки полезности каждого последствия. Рассмотрим, например, произвольную точку А с координатами . Полезность последствия А может быть представлена в виде линейной комбинации полезностей в которой соответствующие веса определяются (поскольку Z не зависит по полезности от У) значениями полезностей и

Рис. 5.7. Условие независимости по полезности фактора Z от У позволяет полностью определить функцию полезности на основе значений полезности последствий, выделенных жирными линиями

В качестве другой иллюстрации того же доказательства рассмотрим вертикальную линию, проходящую через произвольную точку у. Функция полезности должна быть стратегически эквивалентна функции которая уже задана. Полезности последствий нужны для нормализации функции

Сформулируем теперь более строго рассматриваемое утверждение.

Теорема 5.6. Если Z не зависит по полезности от У, тогда

где нормализованно равенствами

Доказательство. Значения можно выбрать так, чтобы удовлетворяли неравенству Установим начало отсчета и единицу измерения функции

Поскольку Z не зависит по полезности от У, справедливо выражение (5.37). Вычисляя значение выражения (5.37) при и используя выражение (5.39), находим

Объединяя выражения (5.41) и (5.37) и вычисляя значение функции в точке получаем

Отсюда с учетом выражения (5.40) следует

Подстановка выражений (5.41) и (5.42) в (5.37) приводит к следующему:

что и требовалось доказать.

Необходимо заметить, что функции полезности и являются условными. Равенства (5.39) и (5.40) определяют начало отсчета и единицу измерения функции а также задают общую точку на кривых Для того чтобы единицы измерения этих функций установить равными единице измерения функции и, таким образом, обеспечить неизменность единицы измерения функции полезности необходимо найти эмпирическим путем еще по одному значению для каждой из условных функций полезности Это можно осуществить следующим образом. Подберем такое последствие которое равноценно последствию Следовательно, значение полезности равно значению полезности и которое задает вторую точку для и тем самым устанавливает ее единицу измерения. Аналогично можно найти последствие равноценное последствию и установить соответствующую согласованную единицу измерения функции

Для того, чтобы сделать понятнее смысл выражения (5.38), рассмотрим графические иллюстрации для двух конкретных случаев. В первом случае предположим, что У является двумерным, т. е. одномерным. Тогда теорема 5.6 утверждает, что если Z не зависит по полезности от У, то функция может быть определена двумя условными функциями полезности каждая из которых зависит от двух факторов, и одной условной функцией полезности зависящей от одного фактора. Обратимся к рис. 5.8, а: чтобы задать функцию необходимо оценить лишь относительные значения полезности выделенных последствий, расположенных на пранях и прямой с

Рис. 5.8. Нахождение функций полезности последствий, выделенных на этом рисунке, полностью определяет функцию полезности

В качестве второй иллюстрации рассмотрим случай, в котором У является одномерным, . Тогда из теоремы 5.6 следует, что если Z не зависит по полезности от У, то функция определяется двумя условными функциями полезности каждая из которых зависит только от одного

фактора, и одной условной функцией полезности зависящей от двумерного аргумента. Таким образом, для задания в этом случае функции необходимо оценить относительные значения полезности последствий, выделенные на

5.6.2. Использование кривой равного предпочтения вместо одной из условных функций полезности. В некоторых задачах может оказаться удобнее вошользоваться кривой равного предпочтения, а не условной функции полезности. Докажем, что при вычислении функции вместо условной функции полезности от У или от Z может быть использована кривая равного предпочтения, если она задана на той же самой области изменения переменной.

Теорема 5.7. Если Z не зависит по полезности от У, то

где

2. определена так, что для произвольно выбранного значения

[Предварительное замечание. Таким образом, чтобы можно было воспользоваться результатами этой теоремы, необходимо сначала убедиться, что Z не зависит по полезности от У, построить функции а также найти кривую равного предпочтения на всем диапазоне изменения значений

Доказательство. Зададим начало отсчета функции

и определим функцию так, чтобы множество пар для всех являлось кривой равного предпочтения, охватывающей все значения У. Поскольку кривая для всех должна пересекать линию для всех точку их пересечения можно обозначить через и установить значение полезности для точек кривой равного предпочтения равенством

Вычисляя согласно выражению (5.37) в точках соответственно, находим

или

Подставляя выражения (5.46) и (5.47) в выражение (5.37), Получаем выражение (5.43).

В частном случае, если кривая равного предпочтения проходит через точку т. е. то и выражение (5.43) упрощается:

Геометрическая интерпретация теоремы 5.7 для скалярных факторов представлена на рис. 5.9. Для того чтобы определить функцию необходимо найти согласованные значения полезности последствий вдоль жирных линий на рис. 5.9.

Рис. 5.9. Условие независимости по полезности фактора Z от У позволяет полностью определить функцию полезности на основе значений полезности последствий, выделенных жирными линиями

Интересно также при построении функции попытаться использовать кривую равного предпочтения вместо условной функции полезности для Это удается сделать на основе следующего утверждения.

Теорема 5.8. Если Z не зависит по полезности от У, тогда

где

определена таким образом, что

[Предварительное замечание. Таким образом, для того чтобм обеспечить возможность использования результатов этой теоремы, необходимо убедиться в независимости по полезности Z от построить функции и одну кривую равного предпочтения, охватывающую всю область изменения значений

Доказательство. В качестве начала отсчета значений функции примем точку пересечения кривой равного предпочтения для всех и линии для всех Пересечение этих линий должно происходить в некоторой точке обозначаемой поэтому

Кроме того, единица измерения функции и может быть установлена равенством Таким образом, поскольку Z не зависит по полезности от У, для (Вычисления может быть использовано выражение (5.38). Действительно,

Полученное выражение можно переписать в следующем виде:

Подставляя выражение (5.50) в (5.42), получаем искомый результат — выражение (5.49).

Для случая, когда являются скалярными величинами, на рис. 5.10 представлена геометрическая иллюстрация к теореме 5.8. Представление функции полезности в виде (5.49) позволяет предложить метод построения самой функции на основе относительных значений полезности последствий, расположенных вдоль жирных линий на рисунке. По расположению кривой равного предпочтения на рис. 5.10 нетрудно понять, что предпочтительность последствий должна возрастать с увеличением значений одного фактора и уменьшением другого.

Рис. 5.10. Условие независимости по полезности фактора Z от У позволяет полностью определить функцию полезности на основе значений полезности последствий, выделенных жирными линиями

5.6.3. Использование двух кривых равного предпочтения. В выражении (5.38) кривыми равного предпочтения могут быть заменены обе условные функции полезности от У. Для того чтобы показать это, докажем следующую теорему.

Теорема 5.9. Если Z не зависит по полезности от У, то

где

1. нормализована равенствами

2. Функция определена таким образом, что

3. Функция определена таким образом, что

[Предварительное замечание. Для того чтобы обеспечить возможность использования этой теоремы, необходимо удостовериться в независимости по полезности Z от У, построить функцию и задать две кривые равного предпочтения, охватывающие всю область изменения значений

Доказательство. Определим функции таким образом, чтобы множества пар для всех для всех соответствовали двум кривым равного предпочтения, охватывающим всю область изменения У. Обе кривые равного предпочтения должны пересекаться с линией

для всех поэтому начало отсчета и единица измерения функции а также сами значения могут быть установлены следующими равенствами:

Вычисляя при помощи выражения (5. 38), находим соответственно

Уравнения (5.54) и (5.55) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными, решая которую получаем

Подстановка выражений (5.56) и (5.57) в выражение (5.38) приводит к

откуда в результате приведения подобных членов приходим к выражению (5.51).

Когда представляют собой скалярные величины, теореме 5.9 может быть дана простая геометрическая интерпретация (см. рис. 5.11). Выше было доказано, что независимость по полезности Z от У, обеспечивает возможность полного определения функции с помощью относительных значений полезности лишь тех последствий, которые расположены вдоль жирных линий.

Функция полезности позволяет охарактеризовать отношение лица, принимающего решение, к ситуациям, связанным с риском

Рис. 5.11. Условие независимости по полезности фактора Z от У позволяет полностью определить функцию полезно на основе значений полезности последствий, выделенных жирными линиями

неопределенностью. Для построения искомой функции полезности, лицу, Принимающему решение, ориходится указать свои предпочтения относительно лотерей. С другой стороны, кривая равного предпочтения не содержит никакой информации относительно склонности к риску лица, принимающего решение и может быть найдена путем сравнения одних только детерминированных исходов. Таким образом, для того чтобы выражение (5.58) было справедливым, необходима только одна условная функция полезности. Поэтому отношение лица, принимающего решение, к риску, связанному с неопределенностью как по У, так и по может быть установлено с помощью рассмотрения ситуаций, связанных с риском и включающих неопределенность только относительно фактора.

5.6.4. Частные случаи: аддитивная и полилинейная формы. В § 5.4. было доказано, что если факторы взаимонезависимы по полезности, тогда

где рассчитанная на основе эмпирических данных константа. Интересно было бы выяснить, какие дополнительные условия необходимы, чтобы результаты этого параграфа можно было свести к виду (5.59) или к аддитивной функции полезности. С этой целью докажем два результата, которые могут рассматриваться как следствия теоремы 5.6.

Следствие 1. Пусть фактор Z не зависит по полезности от У. Тогда необходимым и достаточным условием представления функции полезности в виде (5.59) является справедливость выражения

для любого произвольного значения где константы.

[Предварительное замечание. Другими словами, это следствие утверждает, что если фактор Z не зависит по полезности от У, то для представления функции полезности в полилинейном виде (5.59) не обязательно проверять, являются ли все условные функции полезности стратегически эквивалентными. Достаточно убедиться, что существует хотя бы одна пара функций, например и ( которые стратегически эквивалентны.]

Доказательство. Для доказательства достаточности указанного условия подставим выражение (5.60) в (5.38). При этом получим

Поскольку то выражение (5.61) при дает

Отсюда

Подставляя этот результат в выражение (5.61) и полагая получаем выражение (5.59).

Для доказательства необходимости условия (5.60) при представлении функции полезности в виде (5.59), нужно лишь обратить внимание на то, что из выражения (5.59) следует

и что являются константами.

Следствие 2. Пусть фактор Z не зависит по полезности от У. Функция полезности является аддитивной тогда и только тогда, когда лотерея равноценна лотерее при всех у.

Доказательство. Приравнивая ожидаемые полезности двух лотерей, получаем

Напомним, что начало отсчета и единица измерения функции в выражении (5.38) заданы равенствами Поэтому, подставляя их в выражение (5.63), получаем

Выражение (5.64) представляет собой необходимое и достаточное условие представления функции полезности в полилинейном виде, сформулированное в следствии 1. Заметим, что для , аддитивность функции полезности следует непосредственно из выражения (5.61).

В § 5.3 было установлено, что в общем случае аддитивность функции полезности следует из допущения

для всех при фиксированных, произвольно выбранных значениях и . В следствии утверждается, что при независимости по полезности Z от У аддитивность функции полезности может быть установлена, если в качестве значения z выбрано значение и сделанное выше допущение справедливо для всех у при фиксированных, произвольно выбранных значениях Ранее в теореме 5.4 было доказано, что при справедливости допущения о взаимной независимости по полезности аддитивность функции полезности может быть установлена, если в качестве значений у и z соответственно выбраны и допущение (5.65) справедливо для одной из четверок значений и 2,.

5.6.5. Использование детерминированных эквивалентов. Детерминированный эквивалент у для у в лотерее , как и прежде, определим следующим образом: Если

фактор Z не зависит по полезности от У, а у и z независимы в вероятностном смысле, тогда, используя выражение (5.38), имеем

где являются детерминированными эквивалентами у, когда соответственно, детерминированный эквивалент для

Более детально использование детерминированных эквивалентов для оценки лотерей обсуждалось в § 5.5. Основная причина удобства их применения следующая. Независимость по полезности позволяет выразить ожидаемую полезность лотереи, содержащей неопределенность в отношении более чем одного фактора, через ожидаемые полезности лотерей, содержащих неопределенность в отношении лишь одного фактора. Независимость в вероятностном отношении позволяет рассчитать ожидаемые полезности этих лотерей, вычислив ожидаемую полезность по каждой компоненте отдельно. Таким образом, может быть получено выражение для ожидаемой полезности «сложной» лотереи с многомерными (многофакторными) исходами через ожидаемые полезности более «простых» лотерей с одномерными (однофакторными) исходами. Тогда в этих более простых лотереях вместо неопределенных значений фактора может использоваться детерминированный эквивалент, который позволяет значительно упростить интерпретацию используемых лотерей.

5.6.6. Независимость по полезности как способ аппроксимации. Даже в том случае, когда ни один из факторов не является независимым по полезности от другого, представление функции полезности в виде выражения (5.38), которое было получено при допущении о независимости по полезности одного фактора от другого, может оказаться хорошей аппроксимацией для реальной функции полезности.

Основной аргумент в пользу выбора такой аппроксимации состоит в том, что использование выражения (5.38) дает пять степеней свободы при построении функции полезности в то время как использование полилинейного представления вида (5.16) дает четыре степени свободы, а применение аддитивного представления вида - лишь три степени свободы. Рассмотрим иллюстрацию для двухмерного случая, представленную на рис. 5.12.

Последствия, оцениваемые непосредственно и характеризующие степени свободы, выделены на рисунке жирными линиями или точками. Точки, обведенные на рисунке кружками, представляют собой последствия, используемые для определения начала отсчета и единицы измерения функции

Аппроксимируя функцию полезности аддитивной формой, мы можем варьировать

(a) профиль функции условной функции полезности от фактора У,

(b) профиль функции условной функции полезности от фактора

Рис. 5.12. Построение функций полезности последствий, выделенных на рисунке, полностью определяет функцию полезности для указанных случаев

(c) единицу измерения функции относительно единицы измерения функции это достигается установлением значения

Эти три характеристики, определяемые с помощью непосредственной (прямой) оценки, как раз и представляют собой те три степени свободы, которые обусловливаются аддитивным представлением функции полезности.

При аппроксимации функции полезности полилинейной формой дополнительно к необходимо выбрать

(d) единицу измерения условной функции полезности зависящей от фактора это достигается установлением значения

И, наконец, при аппроксимации функции полезности формой, задаваемой выражением (5.38), к этому перечню степеней свободы надо добавить

(e) профиль функции

Рис. 5.13 иллюстрирует некоторые общего характера профили функций полезности типичные при использовании выражения (5.38). Общее ограничение для этих функций полезности состоит в том, что все условные функции полезности для фактора Z должны быть стратегически эквивалентны. На каждом из 15 рисунков пары таких эквивалентных функций выделены жирными линиями. Заметим, однако, что при этом функции могут иметь различные профили. Ряды а и на рис. 5.13 иллюстрируют различные изменения профилей функций На представленных рисунках показаны различные комбинации выпуклых и вогнутых условных функций полезности.

Ряд с иллюстрирует свободу, создаваемую выбором единицы измерения функций . И, наконец, ряды показывают, что на условные функции полезности не

накладываются такие ограничения, как монотонность функции или характеристика определенного отношения к риску.

Рис. 5.13. (см. скан) Различные профили функций полезности и при которых фактор Z не зависит по полезности от У

Повторим, что единственным ограничением, накладываемым на виды функции рис. 5.13, является следующее: функции должны иметь один и тот же общий профиль (т. е. быть стратегически эквивалентными) при всех значениях у.