6.11. ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ И УСЛОВНЫЕ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Предположим, что факторы в какой-либо конкретной задаче удалось структуризировать так, как показано на рис. 6.4. Более того, предположим, что факторы являются взаимонезависимыми по полезности. Тогда из теоремы 5.2 следует, что

где все функции полезности шкалированы от 0 до 1.

Рис. 6.4. Иерархическая структура рассматриваемых факторов

Заметим, что, вычисляя выражение (6.105) в точках которые являются наименее предпочтительными значениями факторов соответственно, можно найти

Дело в том, что в действительности каждая из функций является условной функцией полезности, определенной на соответствующей области изменения одного из факторов при определенном, фиксированном значении другого фактора. Вследствие допущения о независимости по полезности условная функция полезности для например, всегда одна и та же независимо от значения фактора Поэтому для определения функции необходима лишь одна условная функция полезности для фактора

Весьма логично будет на следующем шаге в процессе нахождения функции и попытаться найти такие функции что

где через обозначены функции полезности, построенные на соответствующих областях своего определения. Из ранее полученных результатов следует, что это можно сделать, если . Однако вследствие большой размерности проверка таких допущений может вызвать затруднения. К счастью, столь сильные допущения не являются необходимыми. Поскольку фактор не зависит по полезности от надо лишь проверить, является ли фактор условно независимым по полезности от если значение фактора установлено, например, на уровне

Можно сделать и более общее утверждение. Если уже установлено, что подмножество факторов не зависит по полезности от У, то во всех формулировках двух предыдущих глав можно говорить о предпочтениях и функциях полезности на подмножестве факторов из У, не рассматривая при этом значения факторов из 7. Последние могут быть зафиксированы на некотором удобном уровне. Основываясь на этом, можно определить ряд полезных понятий условной предпочтительности.

6.11.1. Допущения об условной независимости. Понятия условной независимости интересны по трем следующим причинам:

1. Справедливость определенных допущений об условной независимости позволяет упростить структуру многомерных функций полезности.

2. Условная независимость является необходимым условием для справедливости допущения о «безусловной» независимости. В то же время проверка справедливости предположений об условной независимости в ряде случаев требует меньшего объема эмпирической информации. Это весьма существенно, когда мы рассматриваем возможность опровержения справедливости допущений о «безусловной» независимости.

3. Допущения об условной независимости, являясь основой достаточных условий для справедливости допущений о безусловной независимости, позволяют установить существование определенных функциональных видов функций полезности при более слабых предположениях. Тем самым облегчается проведение необходимых проверок.

После определения понятий условной независимости каждое из них будет подробно рассмотрено.

Для того чтобы формализовать предложенные идеи, рассмотрим множество факторов а также его разбиение на три непустых подмножества: Будем говорить, что условно не зависит по предпочтению при заданном если порядок предпочтительности последствий, отличающихся лишь значениями факторов из не зависит от значений

когда значение установлено на уровне Математически это условие можно выразить следующим образом: при любых

Аналогично, условно не зависит но полезности от при заданном если порядок предпочтительности лотерей, все исходы которых (т. е. реализующиеся последствия) отличаются лишь значениями факторов из не зависит от значений когда значение установлено на уровне Это условие математически может быть представлено следующим образом: для любых лотерей при любом

Эти определения естественным образом (вытекают из исходных определений независимости по предпочтению и независимости по полезности.

Если задана функция полезности и, то выражение (6.106) справедливо тогда и только тогда, когда

Аналогично, выражение (6.107) справедливо тогда и только тогда, когда

где произвольно выбранное значение. Как выражение (6.108), так и выражение (6.109) оказываются весьма полезными при получении следствий из допущений об условной независимости.

Каждое из предложенных определений может быть обобщено. Фактор назовем условно независимым по предпочтению от при заданном если порядок предпочтительности последствий, различающихся лишь значениями факторов из не зависит от значений когда значения зафиксированы на любом произвольном уровне. Аналогично, фактор условно не зависит по полезности от при заданном если порядок предпочтительности лотерей, все исходы которых различаются лишь значениями факторов из не зависит от значений когда значения зафиксированы на любом произвольном уровне. Эти допущения об условной независимости могут быть записаны соответственно (следующим образом: для любых

и для любых лотерей при любом

Как и ранее, при заданной функции шолеаности и выражение (6.10) справедливо тогда и только тогда, когда

а соотношение (6.111), когда

где произвольное, но фиксированное значение фактора

Понятно, что из соотношения (6.112) следует выражение (6.108), а из (6.113) — выражение (6.109), поэтому последние допущения об условной предпочтительности являются более сильными, чем первые. Заметим, что для справедливости условия (6.113) относительные предпочтения на при заданном не обязательно должны совпадать с относительными предпочтениями на при заданном Если фактор условно не зависит по полезности от при фиксированном значении и если относительные предпочтения для рассматриваемых значений сохраняются неизменными три всех значениях тогда фактически фактор У! не зависит по полезности от Отсюда для любых

Попробуем с помощью рис. 6.5 проиллюстрировать связь между допущениями о независимости то полезности и условной независимости по полезности. Выражение (6.109), которое характеризует условную независимость по полезности фактора от при заданном означает, что относительные предпочтения последствий, расположенных вдоль каждой непрерывной линии, стратегически эквивалентны. Это означает, что условные функции полезности вдоль каждой из этих непрерывных линий одинаковы и связаны друг с другом положительными линейными преобразованиями. Однако из этого условия не следует, что относительные предпочтения последствий, расположенных вдоль выделенных пунктирных линий, должны быть теми же самыми. Тем не менее такое утверждение может быть и справедливым. Выражение

Рис. 6.5. Связь между условной независимостью по полезности и независимостью по полезности

(6.113), которое характеризует условную независимость по полезности фактора от при фиксированном означает, например, что относительные предпочтения для последствий, расположенных, соответственно, вдоль выделенных непрерывных, пунктирных и штрих-пунктирных линий, должны быть одинаковыми. Но это условие не требует, чтобы относительные предпочтения последствий, расположенных вдоль непрерывных линий, были бы такими же, как вдоль пунктирных или штрих-тувктирных линий. Если оказывается, что относительные предпочтения последствий, располагающихся вдоль каждой из выделенных линий: непрерывных, пунктирных и штрих-пунктирных — совпадают друг с другом тогда, весьма вероятно, фактор У, не зависит по полезности от Мы говорим «весьма вероятно», поскольку для того, чтобы не зависел по полезности от данное условие должно выполняться не только для плоскостей, на которых принимает значения или но и для всех других плос-. костей, не указанных на рисунке.

Наконец, дадим определение условной аддитивной независимости. Факторы являются условно аддитивно независимыми при заданном значении если предпочтения для лотерей на при значении установленном на уровне зависят лишь от маргинальных условных распределений вероятностей и не зависят от их совместного условного распределения вероятностей. И, аналогично предыдущим случаям, положим по определению, что факторы являются условно аддитивно независимыми при фиксированном если предпочтения между лотереями на при любом фиксированном значении зависят только от маргинальных условных распределений вероятностей и не зависят от их совместного условного распределения вероятности.

6.11.2. Упрощение многомерных функций полезности. Приступим к исследованию целесообразности использования допущений об условной предпочтительности. Для большинства теорем, использующих независимость по предпочтению, независимость по полезности или аддитивную независимость, можно получить аналогичные результаты при соответствующих допущениях об условной независимости. Приведем некоторые из них без доказательств, поскольку эти доказательства совпадают с приведенными ранее. Например, теореме 5.2 соответствует следующее утверждение.

Теорема 6.12. Если факторы условно независимы по полезности друг от друга при заданном значении то

где эмпирически оцениваемая константа.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 5.2.

Кроме результатов, полностью аналогичных тем, которые получены при использовании независимости по полезности, можно

доказать некоторые дополнительные утверждения, например следующее.

Теорема 6.13. Если условно независимы по полезности друг от друга при заданном то функция может быть определена с помощью функций построеннных для произвольных значений при условии, что для функций используются согласованные шкалы.

Рис. 6.6. Иллюстрация доказательства теоремы 6.13

Это утверждение позволяет определить функцию полезности для трех факторов с помощью трех условных функций полезности, одна из которых зависит от одного фактора, а две — от двух факторов. Смысл теоремы 6.13 иллюстрируется рис. 6.6, где принято, что являются скалярными факторами. Последствия, предпочтительность которых должна быть квантифицирована, на рисунке выделены. Предположим, что желательно найти значение полезности произвольной точки (точка А на рис. 6.6). Поскольку фактор У, условно не зависит от полезности от при заданном значение полезности точки А может быть выражена через полезности точек . Действительно, предпочтения для последствий такие же, как и для последствий , а относительные предпочтения для известны. Полезность точки С также известна, но полезность точки В еще нужно найти. Однако, так как фактор условно не зависит по полезности от при заданном полезность последствия В может быть выражена через полезность последствий . В самом деле, относительные предпочтения для последствий такие же, как и для последствий , а относительные предпочтения для этих последствий известны. Полезности последствий суть известные величины, поэтому можно вычислить полезность последствия В и, таким образом, найти полезность произвольного последствия Л.

Приведем еще один результат, который характеризует целесообразность использования понятия условной независимости при установлении структуры функции полезности.

Теорема 6.14. Пусть факторы условно аддитивно независимы при заданном значении тогда

Доказательство этого утверждения очень похоже на доказательство теоремы 5.1. Этот результат позволяет определить функцию полезности для трех факторов с помощью двух двумерных функций полезности с согласованными шкалами измерений. Если являются скалярными факторами, то из выражения (6.114) следует, что для полного определения функции и необходимо найти лишь значения функции полезности на двух заштрихованных плоскостях, показанных на рис. 6.6.

6.11.3. Необходимые условия для независимости. В этом пункте обсуждается второй аспект целесообразности использования допущений об условной независимости. Обсуждаемые здесь положения аналитически весьма просты, но удобны в практических задачах. Именно поэтому они и были включены в настоящий пункт. В некоторых ситуациях может оказаться очень затруднительным выяснение вопроса о том, является ли фактор независимым по полезности от или нет. Однако можно установить значение фактора на определенном уровне и проверить относительную предпочтительность последствий, различающихся значениями для различных значений при заданном Если при этом окажется, что относительные предпочтения для таких последствий не остаются неизменными, тогда очевидно, что относительные предпочтения для последствий, различающихся значениями не могут быть одинаковыми для всех пар Таким образом, фактор не может быть независимым по полезности от Это заключение формализовано в следующей простой теореме.

Теорема 6.15. Необходимым условием независимости по полезности от является условная независимость по полезности от при заданном

В том же ключе сформулируем еще одну теорему, которая представлена без доказательства.

Теорема 6.16. Необходимым условием аддитивной независимости является условная аддитивная независимость при заданном

6.11.4. Достаточные условия для независимости. Третий аспект возможного использования условной независимости по полезности определяется тем, что это допущение обеспечивает основу для формирования достаточных наборов допущений о свойствах независимости предпочтений. Благодаря этому проверка возможности использования определенных функциональных видов функции полезности в конкретных задачах требует меньшего объема эмпирической информации.

Теорема 6.17. Если фактор условно не зависит по полезности от при фиксированном и от при фиксированном то не зависит по полезности от

Доказательство. Поскольку фактор условно не зависит по полезности от при фиксированном из выражения

(6.113) следует, что для произвольного значения (выберем его равным справедливо равенство

А поскольку У, условно не зависит по полезности от при заданном то из выражения (6.109) получаем

Подставляя (6.116) в (6.115), находим

Из выражения (6.117) следует, что не зависит по полезности от

Особо важный класс представляют задачи с иерархической структурой факторов. Далее излагаются некоторые результаты, полезные для решения этих задач.

Теорема 6.18. Если множество факторов не зависит по полезности от и если условно не зависит по предпочтению от при фиксированном то не зависит по предпочтению от

Доказательство. Из условия независимости по полезности следует

а условная независимость по предпочтению означает, что

Вычисляя правую часть выражения (6.119) с помощью выражения (6.118), получаем

Подставляя (6.120) в (6.118), находим

Это выражение и означает, что фактор не зависит по предпочтению от

Аналогичное утверждение можно сформулировать для независимости по полезности.

Теорема 6.19. Если множество факторов не зависит по полезности от условно не зависит по полезности от при фиксированном то не зависит по полезности от

Доказательство. Из условий теоремы следует, что

где значение выбрано произвольно, и

Положив и подставив выражение (6.123) в правую часть выражения (6.122), перегруппируем члены и в результате получим

Вычислим значения выражения (6.124) в точке и решим полученное уравнение относительно Подстановка найденного решения этого уравнения снова в выражении (6.124) завершает доказательство утверждаемого результата.

Два доказанных выше утверждения позволяют нам сконцентрировать внимание на предпочтениях лица, принимающего решение, и независимых по полезности цепях и их элементах, не задумываясь о значениях других факторов, уже установленных на некотором удобном уровне. Возвращаясь к примеру 6.5 из § 6.10, можно заметить, что для получения выражения (6.97) условие независимости по полезности фактора от оказывается избыточным. Из теоремы 6.19 следует необходимость лишь условной независимости по полезности от при значении заданном на каком-либо удобном уровне Последнее условие проверить значительно легче, чем первое.

Относительно аддитивной независимости сформулируем следующую теорему.

Теорема 6.20. Если, во-первых, условно аддитивно независимы при фиксированном во-вторых, условно аддитивно независимы при фиксированном и, в-третьих, условно аддитивно независимы при фиксированном то аддитивно независимы.

Доказательство. Из второй и третьей предпосылок следует соответственно, что

где

Таким образом, подставляя выражение (6.125) и (6.126) в выражение (6.114), которое следует из первой предпосылки, получаем

Соотношение (6.127) означает аддитивность функции полезности откуда непосредственно вытекает наличие аддитивной независимости факторов.

6.11.5. Иллюстративный пример иерархической структуры. Для иллюстрации некоторых рассмотренных выше положений приведем в качестве примера упрощенный вариант типичной задачи управления, с которой сталкиваются различные правительственные организации. Для конкретности предположим, что администрация штата рассматривает законопроект об обязательном использовании ремней безопасности всеми участниками автотранспортного движения на высокоскоростных дорогах штата. Главная конечная цель такой программы — «повышение благополучия» автомобилистов штата. Подцелями являются минимизация физических травм водителей и снижение денежных затрат. Таким образом, можно определить главный фактор X как «благополучие», фактор как «физические травмы», «денежные затраты». Более того, предположим, что фактор У, разбит на два фактора характеризующих соответственно летальные исходы и серьезные травмы, а фактор разбит на факторы отражающие соответственно денежные затраты водителей и денежные затраты штата. В табл. 6.4 перечислены меры эффективности, которые будут использованы для каждого из факторов.

Таблица 6.4. Факторы и меры эффективности для задачи о ремнях безопасности

Для иллюстрации иерархической структуры факторов удобно использовать рис. 6.7.

Следующим интересующим здесь этапом анализа является построение функции полезности и Очевидно, что функцию можно представить в виде и или Начать структуризацию функции и целесообразно с проверки допущения об аддитивной независимости, обсуждавшегося в § 5.3. Сначала необходимо проверить, справедливо ли это допущение для факторов У, и Предположим, что оно оказалось несправедливым. Но при этом выяснилось, что фактор не зависит по предпочтению от а фактор не зависит по полезности от Тогда согласно теореме 6.6 фактор У, не зависит по полезности от Предположим также, что была установлена

независимость по полезности фактора от Поэтому из теоремы 5.2 следует

где

Рис. 6.7. Иерархическая структура факторов в задаче о ремнях безопасности на автотранспорте

Однако желательно пойти еще дальше и, если возможно, упростить как функцию и так и Для этого предположим, что проверка установила справедливость допущения об условной взаимной независимости по полезности факторов при заданном Поскольку не зависит по полезности от то для это было уже известно. Из теоремы 6.12 следует, что

где начало отсчета функции и по-прежнему задается равенством Заметим, что шкала для измерения функции и пока не конкретизирована.

Теперь перейдем к функции которую представим в виде Предположим, после проверки удалось сделать заключение о том, что лишь условно независим по полезности от при заданном Это означает, что в соответствии с утверждением, аналогичным теореме 5.6 из § 5.6, справедливо следующее выражение:

где начало отсчета и шкала измерения функции по-прежнему задаются равенствами

Все три функции полезности (6.128), (6.129) и (6.130) имеют одинаковое начало отсчета, а шкала измерения установлена лишь для функции (6.130). Поэтому можно непосредственно подставить (6.129) и (6.130) в (6.128) и благодаря этому выразить через

при этом начало отсчета и шкала измерения функции и устанавливается равенствами

соответственно. Таким образом, использование условий независимости и условной независимости позволило в этом примере свести оценку функции полезности для четырех факторов к согласованной оценке пяти функций полезности, каждая из которых зависит только от одного фактора и двух дополнительных шкалирующих констант. Это значит, что в целом необходимо найти значения семи шкалирующих констант — но одной константе для определения значения каждой из условных функций полезности во второй точке (первой точкой для них является общая начальная точка — точка начала отсчета), плюс