3.2. ПРОЦЕДУРЫ ВЫБОРА, НЕ ТРЕБУЮЩИЕ ФОРМАЛИЗАЦИИ СТРУКТУРЫ ПРЕДПОЧТЕНИЙ

Пусть действия а и а" приводят к последствиям

где

Кроме того, будем считать в этом разделе, что предпочтения возрастают по мере роста значений каждого из .

3.2.1. Доминирование. Мы говорим, что х доминирует над когда

Если х доминирует над то действие а" не может претендовать на то, чтобы считаться «лучшим действием», так как а является по меньшей мере столь же хорошим, как и а", по каждому критерию (по каждой оценочной функции) [см. (3.1)] и

строго лучше по крайней мере по одному критерию (по одной оценочной функции) [см. (3.2)].

В случае мы можем изобразить точки графически (см. рис. 3.2) и увидеть, что х доминирует над тогда и только тогда, когда х находится «северо-восточнее» от

Заметим, что идея доминирования использует только ординальное свойство (упорядоченность) чисел в пространстве исходов (т. е. для двух данных чисел нас интересует лишь их соотношение не кардинальное свойство этих чисел (т. е. факт, что разница между 10 и 6 больше, чем между 6 и 3, или что 6 в два раза больше 3). Заметим также, что доминирование не требует сравнений при

Рис. 3.2. Доминирование по двум критериям

3.2.2. Эффективная граница. Для любого (допустимого) действия существует отвечающее ему последствие в -мерном пространстве X, для которого для каждого Пусть множество последствий в -мерном пространстве, соответствующее действиям из А. Множество является множеством изменения вектора X, составляющие которого суть значения оценочных функций определенных на области А.

Рисунок 3.3 изображает различные возможные варианты когда У нас еще будет возможность обсудить эти качественно различные случаи.

Множество недоминируемых исходов в будет называться эффективной границей Оно известно также под названием «оптимального по Парето множества». На рис. 3.3 эффективные границы жирно очерчены. Так, на рис. 3.3, а выбор может быть исключен, потому что существует последствие на эффективной границе, которое доминирует над На рис. -3.3, в последствие эффективно (т. е. лежит на эффективной границе), хотя оно и находится, так сказать, в местной долине. На рис. 3.3, г множество состоит из отдельных последствий и эффективная граница отмечена жирными точками. Случаи, изображенные на рис. 3.3, а и наиболее просты для аналитического изучения, поскольку

множества последствий выпуклы и эффективные границы непрерывны. Отметим, однако, что понятие выпуклости требует использования кардинальных (а не ординальных) величин.

В некоторых случаях, когда эффективное множество может быть изображено графически, зачастую бывает сразу же ясно, какой х следует выбрать.

Рис. 3.3. Эффективная граница для различных множеств последствий, характеризуемых с помощью двух критериев

Например, на рис. 3.3, б естественно выделяется точка х, поскольку при небольшом отклонении от х мы должны пожертвовать слишком многим по одному критерию, чтобы выиграть немного по другому критерию. Делая это последнее замечание, мы неявно использовали кардинальные понятия, но при наличии естественных единиц для оценочных функций смысл такого количественного замещения может быть очевидным. Мы не говорим, что так обязательно будет, но так может быть.

При мы не можем графически изобразить и его эффективную границу. В следующих двух пунктах мы изложим два способа, при помощи которых принимающий решение может «перемещаться» по эффективной границе для того, чтобы выделить точку, которая представляется ему достаточно хорошей. В последующих параграфах будут описаны процедуры, которые могут быть использованы для формальной структуризации предпочтений относительно различных точек в пространстве оценок. А сейчас посмотрим, что можно сделать, не уточняя структуры предпочтений полностью.

3.2.3. Исследование эффективной границы: использование искусственных ограничений. Перед лицом, принимающим решение, стоит следующая задача. Оно должно выбрать действие такое, чтобы быть «удовлетворенным» полученным -мерным результатом Одна из процедур, которую оно может использовать, состоит в том, чтобы указать некоторые «уровни притязаний» для каждого из критериев

и сформулировать строгую математическую задачу: установить существует ли действие такое, что

Можно ли удовлетворить эти взаимосвязанные притязания? Если нет, то лицо, принимающее решение, должно изменить свои притязания на некоторую точку Если , т. е. если существует действие удовлетворяющее (3.3), то, хотя мы знаем, что для мы еще не знаем, является ли точка эффективной. Она может быть доминируемой. Мы можем продолжить нашу процедуру, назначив другой уровень притязаний где

и где — приращение, выбранное интуитивно с учетом желаемого и реального. Таким образом, принимающий решение может итеративно исследовать границу или «почти границу» множества Основываясь на своих неформальных предпочтениях, он может выбирать последовательность уровней притязаний, и, соответственно, перемещаться по области до тех пор, пока у него хватит терпения или пока он не сочтет, что в дальнейшем ожидаемая выгода от продолжения зондирующей процедуры не стоит затрачиваемого времени и расходов, связанных с выполнением анализа.

Возможно, более целесообразным является модифицированный вариант этой процедуры, который состоит в том, чтобы назначать уровни притязаний для всех критериев кроме одного. Предположим, например, что лицо, принимающее решение, выбрало уровни притязаний и отыскивает действие которое удовлетворяет наложенным ограничениям

и максимизирует .

Эта математическая задача имеет форму «стандартной оптимизационной задачи». Если допустимого решения не существует [т. е. никакое действие не удовлетворяет (3.4)], то, очевидно, притязания должны быть изменены. Но даже если допустимое решение существует, максимальное значение может быть неожиданным для принимающего решение. Если это значение слишком мало или слишком велико (по сравнению с тем, которое он «ожидает»), он может изменить первоначальные уровни притязаний и повторить процедуру.

Обозначим максимум при ограничениях (3.4) через Это обозначение подчеркивает, что максимум зависит от уровней притязаний Часто оказывается так, что метод решения стандартной оптимизационной задачи позволяет получить также скорости изменения при ослаблении каждого из ограничений (в то время как все остальные ограничения остаются фиксированными). Говоря математическим языком, мы получаем частные производные для

Тогда принимающий решение имеет в своем распоряжении довольно много информации. Он выбирает и затем в результате анализа получает

Теперь он должен решить, удовлетвориться ли тем, что есть, ил и же зондировать дальше. Если он решает продолжить свои поиски «удовлетворительного решения», то он может выбрать какой-либо из индексов (т. е. критерий и исследовать поведение как функции от Иными словами, он может сохранить все прежние ограничения (кроме касающихся и последовательно наблюдать, что происходит с при изменении в заданном интервале. Несмотря на то, что значение в точке уже известно и известна также производная в этой точке, однако эта дополнительная информация может оказаться весьма полезной, тогда как стоимость дополнительного анализа, возможно, будет невелика. Рис. 3.4 показывает один из возможных результатов такого анализа.

Рис. 3.4. Исследование эффективной границы с помощью искусственных ограничений

Описанная выше процедура зондирования является специальной и не программируется до конца формализованно, поскольку в ней используются личные суждения лица, принимающего решение. Оно должно выбрать уровни притязаний, провести специальные исследования чувствительности результатов (т. е. ) к произвольно назначенным им ограничениям, назначить новые уровни притязаний и т. д.; в конце концов оно должно решить, получен: ли «удовлетворительный» результат и можно ли остановиться. Эта зондирующая процедура заключает в себе постоянное проведение сравнительного анализа того, что достижимо, и того, что желательно. Она построена так, что выбор каждого шага осуществляет принимающий решение, который постоянно должен неформально сопоставлять то, что он хотел бы получить с тем, что, по его мнению, он может достичь. Интерактивная вычислительная

программа должна быть составлена таким образом, чтобы помочь выполнить эту итеративную зондирующую процедуру.

В следующем пункте мы обсудим другой способ исследования эффективной границы в -мерном пространстве.

3.2.4. Исследование эффективной границы: метод варьирования взвешенной суммы критериев. В этом пункте мы формулируем вспомогательную математическую задачу, в результате решения которой находится некоторая точка эффективной границы. Изменяя вспомогательную задачу, принимающий решение может двигаться вдоль эффективной границы до тех пор, пока не (будет удовлетворен результатом.

Для каждого как и раньше, мы полагаем, что существует -мерная оценка Поскольку мы заинтересованы в увеличении значений такую оценку можно рассматривать как -мерный «платеж» лицу, принимающему решение. Пусть

— упорядоченный набор чисел, в котором

Сформулируем вспомогательную задачу: выбрать так, чтобы максимизировать

Мы можем также поставить задачу в эквивалентной форме: выбрать такое чтобы максимизировать

Эта вспомогательная задача имеет вид стандартной задачи оптимизации. Пусть решение этой вспомогательной задачи. Мы теперь утверждаем, что точка должна лежать на эффективной границе. Предположим, что это не так; тогда существовал бы х, принадлежащий который доминировал бы над Но этого не может быть, так как тогда

и поэтому точка не могла бы максимизировать

Следовательно, при заданном наборе чисел удовлетворяющих (3.5), максимизация по х на приводит к получению точки которая лежит на эффективной границе.

Геометрия проведенного анализа показана на рис. 3.5 для . Точка является точкой максимума функции Прямая вида проходящая через (при соответствующим образом выбранном должна быть касательной к так как эта прямая, очевидно, содержит но никакая точка из не может быть правее этой прямой (иначе не могла бы быть точкой максимума для .

Теперь принимающий решение может спросить самого себя, хочет ли он остановиться на или же предпочитает исследовать эффективную границу дальше. Он знает, что, находясь в точке можно двигаться вдоль границы заменив единиц критерия примерно на единиц критерия Это замещение справедливо (точно!) лишь в предельном смысле, но для. практических целей мы можем думать об отношении 1 к 4 как о (локальном) предельном коэффициенте замещения на в граничной точке Предположим, что принимающий решение, подумав, пришел к выводу, что величина слишком мала по сравнению с (т. е. он хотел бы уступить немного в значении чтобы получить большее значение Он может тогда найти решение вспомогательной задачи отыскания максимума, например, функции при Если есть такая точка максимума, то и она будет лежать на эффективной границе области но к северо-западу от как это видно на рис. 3.5. В точке х (локальный) предельный коэффициент замещения будет равен А единицам критерия за единиц критерия и т. д.

Рис. 3.5. Исследование эффективной границы с помощью линейной взвешенной суммы

Конечно, если то эффективная граница может быть изображена графически. Настоящая сила этого метода в тюлной мере проявляется для больших когда о геометрии можно лишь думать, но ничего нельзя изобразить. Например, если выбор набора приводит к соответствующей точке максимума и если представляется недостаточно большим, то можно решить вспомогательную задачу максимизации еще раз с увеличенным значением А». Это приведет к увеличению (точнее» не приведет к уменьшению) оптимального уровня в новой задаче максимизации. Принимающий решение должен выяснить, рассматривая уже полученные токи на эффективной границе, когда

он может удовлетвориться достигнутым. Манипулируя числами он «всегда может исследовать различные точки на этой границе. И здесь он должен неформально сопоставить то, что хотел бы получить, с тем, что, по его мнению, можно достичь. Если эффективная граница выпукла и не имеет локальных откосов или долин, то процедура с манипулированием числами позволяет выделить любую точку на эффективной, границе. В невыпуклом случае могут быть применены специальные методы для выделения имеющихся откосов. Но так как эта процедура не является основным направлением нашего исследования, мы не будем останавливаться на этих специальных вариантах.

Укажем только на возможное продолжение этого анализа. Так, мы могли бы захотеть формализовать некоторые варианты вышеуказанной итеративной процедуры и доказать сходимость к оптимуму. Конечно, для этого мы должны были бы предположить, что существует полная упорядоченность в «-мерном пространстве, на основании которой на каждом шаге итерации проводится выбор улучшающей корректировки. Поскольку этот (подход прямо не обобщается на вероятностный случай (а он в конце концов является для нас главным), мы не будем разбирать многочисленные аналитические вопросы, возникающие при исследовании метода взвешенной суммы критериев.