6.2. ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В СЛУЧАЕ ТРЕХ ФАКТОРОВ

В этом параграфе будут приведены и проиллюстрированы четыре результата, полученные для трехмерных функций полезности. Доказательства этих результатов опущены, так как сами эти результаты являются частными случаями теорем, которые будут сформулированы и доказаны ниже в этой же главе. Изложение результатов начинается с весьма частного случая (в смысле того, насколько ограничительны используемые допущения), затем рассматривается некоторое ослабление ограничений, и, наконец, анализируется самый общий случай.

Результат 1. Если предпочтительность лотерей на зависит только от задаваемых рассматриваемыми лотереями маргинальных распределений вероятностей для этих факторов и не зависит от их совместного распределения вероятностей, то

Выражение (6.7) представляет собой аддитивную функцию полезности для трех факторов. Все функции полезности могут быть шкалированы от 0, до ,

представляют собой «шкалирующие» константы. Используя более слабый набор допущений, получим

Результат 2. Если фактор не зависит по полезности от не зависят по предпочтению от факторов соответственно, то

Обозначения в выражении (6.8) имеют тот же смысл, что и в выражении (6.7); k - дополнительная «шкалирующая» константа. Очевидно, если то выражение (6.8) сводится к аддитивной форме (6.7). Если тогда, умножая обе части выражения (6.8) на прибавляя 1 и вынося за скобки общие множители в правой части, получаем мультипликативную функцию полезности

Следует отметить два важных момента, касающихся результата 2: во-первых, в нем использованы оба допущения — о независимости и по полезности, и по предпочтению, во-вторых, эти допущения связаны с «перекрывающимися» множествами факторов. Оба эти обстоятельства весьма важны для определения многомерных функций полезности. При формулировке данного результата использовались обозначения так как неявно предполагалось, что может быть доказана независимость по полезности факторов от дополняющего множества факторов.

Перейдем к более общему случаю.

Результат 3. Если каждый из факторов не зависит по полезности от дополняющего его множества факторов, то

Здесь функции и шкалирующие константы определены так же, как и ранее. Кроме того, необходимо оценить дополнительные константы Выражение (6.10) представляет собой полилинейную функцию полезности для трех факторов. Очевидно, что как мультипликативная, так и аддитивная функции полезности являются частными случаями полилинейной функции полезности.

Рассмотрим наиболее общий для этого раздела случай.

Результат 4. Если факторы независимы по полезности от дополняющих их множеств факторов то

где

В выражении (6.11) каждая из функций полезности, как обычно, шкалирована от 0 до 1, при этом предполагается, что является наилучшим последствием, а наихудшим. Если представлены в определенной функциональной форме, тогда из выражения (6.11) легко могут быть получены выражения (6.7), (6.8) или (6.10). Это значит, что аддитивная, мультипликативная и полилинейная функции полезности являются частными случаями выражения (6.11). В случае скалярных факторов для каждого из результатов 1—4 последствия, чья предпочтительность подлежит эмпирической оценке, могут быть изображены графически. Такие иллюстрации представлены на рис. 6.1, где жирные линии и точки указывают те последствия, которым необходимо дать оценку, используя одну и ту же шкалу.

Рис. 6.1. Последствия, подлежащие эмпирической оценке при определении функций полезности рассматриваемого вида в трехмерном случае

В оставшейся части настоящей главы для функций полезности, зависящих от аргументов, приводятся результаты, аналогичные результатам этого параграфа. Поскольку рассматривается случай трех и более факторов, могут использоваться также «перекрывающиеся» наборы допущений о независимости по полезности

и по предпочтению, которые, однако, не «содержатся» друг в друге. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, которая не имеет места в случае двух факторов.

Результат 2 и используемые в нем допущения показывают, что привлечение таких перекрывающихся условий независимости может оказаться плодотворным. В следующих трех параграфах будут исследованы возможности использования подобных перекрывающихся условий независимости и доказаны общие теоремы для многомерных функций полезности.