3.7. ПОСТРОЕНИЕ АДДИТИВНОЙ ФУНКЦИИ ЦЕННОСТИ: ГИПОТЕТИЧЕСКИЙ ПРИМЕР

В этом параграфе мы на примере покажем, как можно построить аддитивную функцию ценности для четырех критериев.

Предположим, что Вы — лицо, принимающее решение, — должны произвести выбор из 75 альтернативных действий и что каждое действие может быть оценено четырьмя критериями. Эти оценки представлены в табл. 3.1. Например, действие А имеет оценку 7,5 по критерию по критерию по и 12,15 по Для действия , оценками являются и 4,- по критериям от до соответственно.

Таблица 3.1. Оценки эффективности альтернативных действий по четырем критериям

Примем, что критерии ориентированы положительно в том смысле, что Вы предпочли бы иметь более высокие оценки по каждому из этих критериев, а критерий ориентирован отрицательно, т. е. по этому критерию Вы предпочли бы более низкие оценки.

Ваша задача состоит в следующем: имея оценки эффективности этих 75 действий по 4 критериям, нужно выбрать одно действие, наилучшее для Вас. Иначе говоря, каким образом Вы могли бы провести систематизированный анализ своих мнений об этих критериях, чтобы четко выразить свою пока неявную структуру предпочтений? При рассмотрении имеющихся оценок можно, однако, заметить, что действие не может серьезно претендовать на «лучшее», так как лучше, чем по каждому из четырех критериев (вспомните, что для оценка 12,15 лучше, чем 12,92). На нашем профессиональном языке это означает, что доминируется действием

Внизу табл. 3.1 отмечено, что 75 оценок по критерию лежат в интервале от 2,0 до 9,0. Оценки по критерию лежат в интервале от 200 до 400. Аналогично указаны области значений для критериев Отметим еще раз, что по критерию

никакое действие не имеет оценку лучше, чем 12,00, и хуже, чем 13,50.

Четверку чисел характеризующих действие часто называют профилем А. Профили действий показаны на рис. 3.24.

Рис. 3.24. Профили эффективности действий для гипотетического примера

3.7.1. Правомерность использования аддитивной функции ценности. Предположим теперь, что Вы как лицо, принимающее решение, считаете, что любая пара критериев не зависит по предпочтению от остальных критериев. Так, например, предположим, что замещения для критериев при фиксированных уровнях критериев не зависят от конкретных значений этих фиксированных уровней, и так для каждой пары критериев. Тогда, как было показано в § 3.6, Ваши предпочтения, если они должны быть полно и четко выражены в соответствии с указанными выше предположениями о независимости по предпочтению, могут быть охарактеризованы функцией ценности вида

где

а) (для худшего значения (для лучшего значения

Мы можем считать функцию выражающую нашу оценку компонентой функции ценности, а весом, приписанным критерию . В нашем иллюстративном примере, представленном

табл. 3.1, мы видим, что худшая оценка равна 2,0 и лучшая 9,0. Позднее мы увидим, что определение весов тесно связано с интервалами шкал.

Стоящая сейчас перед Вами задача — определение подходящих функций и весов Решая ее, Вы тем самым должны будете четко выразить свою скрытую структуру предпочтений для профилей х.

3.7.2. Построение компонент функции ценности. Одна из возможных процедур определения функций описана и проиллюстрирована в п. 3.4.7. Проиллюстрируем лишь в сжатой форме, как мы можем построить

Вначале мы нормализуем полагая Затем ищем точку, субъективно среднюю по ценности (обозначим ее в интервале от 2,0 до 9,0. Иначе говоря, мы хотим найти значение для которого т. е. выяснить, какова та точка разреза, для которой интервалы эквивалентны по разности ценности. Значение таково, что если

то

Если мы уступаем некоторое количество единиц по критериям например, переходя от для того, чтобы перейти от 2,0 к то мы должны быть согласны уступить ровно столько же единиц за переход от к 9,0.

Предположим, что точка, средняя по ценности между 2,0 и 9,0, есть 4,0. Затем мы осуществляем ту же самую процедуру для определения точки, средней по ценности в интервале от 2,0 до 4,0. Пусть это будет 2,8, так что Аналогично, пусть точкой, средней по ценности в интервале от 4,0 до 9,0, будет 5,7, так что Теперь эти точки можно нанести на график (рис. 3.25) и через эти пять точек провести кривую. Можно было бы, прежде чем проводить кривую, построить большее число средних по ценности точек. Это зависит от того, какая нужна точность. Мы повторяем положение, которое отмечали раньше: может оказаться желательным проверить согласованность (т. е. найти точку, среднюю по ценности между 2,8 и 5,7) и исправить несогласованность так, чтобы добиться согласованных ответов.

В дополнение к этому мы могли бы вначале, перед тем как назначать конкретные числа,

Рис. 3.25. Построение компоненты функции ценности

проверить качественным путем, является ли функция вогнутой, выпуклой или же имеет более сложную форму.

3.7.3. Нахождение значений шкалирующих коэффициентов. Для удобства изложения введем некоторые специальные обозначения. Для каждого критерия через обозначим худшее значение и через лучшее. Тогда для положительно ориентированных шкал будем иметь Пусть I — множество всех номеров критериев; в нашем примере . Пусть Т — подмножество множества его дополнение до или Через обозначим профиль, в котором компоненты равны для всех для Таким образом, если, например, то

Так как

так что когда то Определим также

Отметим, что, когда Т является одноэлементным множеством мы имеем

Один из возможных методов для определения например, такой. Вначале ранжируем профили Предположим, например, Вы считаете, что Отсюда следует, что для Вас Затем Вы могли бы получить более тонкие неравенства, сравнивая, скажем, Если в этой паре более предпочтительно, то мы могли бы сделать вывод, что

Заметим, что когда Вас просят сравнить то Вам задают по существу такой вопрос: «Предположим, что профиль х соответствует наихудшему случаю и Вы можете выбрать некоторые которые будут заменены на лучшие значения. Хотите ли Вы улучшить уровни критериев с номерами из Т «ли же из

Такой метод анализа позволяет только установить неравенства для В некоторых специальных случаях могут быть получены точные числовые значения, если имеются равенства некоторых профилей по предпочтительности. Например, если Вам безразличен выбор между т. е. эти два вектора одинаковы по предпочтительности, то . Но это — специальный случай.

Продолжим разбор случая, когда Теперь будем сравнивать два профиля изменять уровень пока не наступит момент безразличия в выборе между ними. Предположим, что это происходит при т. е.

Тогда мы имеем

или

А так как предполагается, что компонента функции ценности уже построена, то мы можем найти Допустим, что , так что

Таким же образом мы можем определить соотношения между и между Примем, в частности, что

и

т. е.

а также, что

и

так что

Из (3.36) -(3.38) и мы получаем

При желании мы можем поставить дополнительные вопросы и на основании полученных ответов составить «переопределенную» систему уравнений (на практике совокупность полученных ответов наверняка окажется противоречивой). Эти противоречия аналитик может использовать для того, чтобы «побудить» лицо, принимающее решение, более внимательно отнестись к своим предпочтениям, и может быть, пересмотреть их. Можно надеяться, что причины противоречивости будут найдены, после чего будет установлена непротиворечивая система предпочтений.

3.7.4. Дополнительные замечания о функции X. Функция К, определенная на подмножествах множества обладает обычными свойствами вероятностной меры:

в) , если не пересекаются.

Таким образом, отыскание функции К родственно задаче установления подходящего вероятностного распределения на конечном выборочном пространстве. Очень часто при определении весовой меры А, точно так же, как и при нахождении численных значений вероятностной меры, нецелесообразно начинать с определения численных значений на «атомарном» уровне, т. е. в

нашем случае с чисел Вместо этого может оказаться удобнее вначале установить численные значения для подмножеств (т. е. определить для специальных подмножеств), а затем определить условные меры. Рассмотрим, например, случай 10 критериев с иерархической структурой, представленной на рис. 3.26. Положим для этого случая

Рис. 3.26. Иерархическая структура целей, используемая при нахождении численных значений шкалирующих коэффициентов

В подобном примере с иерархической структурой может оказаться более естественно сравнивать

Используя аналогию с теорией вероятностей, определим также условные весовые функции, как, например, для где характеризует «весовую важность» множества критериев В в подмножестве Е или условные веса . При наличии большого числа критериев и их четко выраженной иерархической структуры очень важно выделить компоненты задачи и найти численные значения условных весов. На рис. 3.27 представлены численные значения условных весов, в данном случае произвольно назначенные нами (в действительности эти числовые значения должны быть указаны (назначены) лицом, принимающим решение). Например, мы положили

Укажем теперь, как находится, например, значение Чтобы найти мы должны (произвести умножение

Таким же образом мы получаем все остальные представленные на рис. 3.27 во второй строке снизу.

Рис. 3.27. Иллюстративные значения шкалирующих коэффициентов для иерархической структуры на рис. 3.26

В подобной задаче может быть ясно, например, как назначить численные значения условных весов для подмножеств , но может оказаться трудным распределить веса между . Однако способность структуризовать часть задачи может позволить произвести анализ чувствительности для тех решающих оценок, которые трудно получить. Это замечание об анализе чувствительности и другие, ему подобные, особенно важны, если в процессе выработки решения участвует не один, а несколько лиц, ответственных за принятие решения.