4.5. МЕРА НЕСКЛОННОСТИ К РИСКУ

Теперь, когда целесообразность введения понятия «несклонности к риску» установлена, обратим наше внимание на измерение этого свойства при возрастающих функциях полезности. Подобные измерения, на наш взгляд, могут быть основаны на следующем обстоятельстве. Вполне разумно считать, что один индивидуум более несклонен к риску, чем другой, если для любой предложенной лотереи надбавка за риск для первого индивидуума больше, чем для второго.

Рассмотрим лотерею где установленное количество по критерию Интуитивно нам представляется, что чем более вогнута функция полезности и в районе точки х, тем больше будет надбавка за риск к лотерее Однако при рассмотрении рис. 4.9 это соображение быстро отпадает. Нетрудно видеть, что, хотя вторая производная функции и по х для двух функций полезности получается разной, надбавка

за риск оказывается одной и той же. При внимательном ретроспективном анализе мы, конечно, обнаружим, что это действительно так, поскольку функции полезности, получаемые одна из другой положительными линейными преобразованиями, стратегически эквивалентны.

Однако знак несет некоторую информацию. Если отрицательна для всех х, то и должна быть вогнутой и, следовательно, связана с несклонностью к риску.

Рис. 4.9. Две функции полеэности с одинаковыми функциями (несклонности к риску

С другой стороны, если положительна для всех х, то и выпукла и отсюда следует, что принимающий решение склонен к риску. Таким образом, представляется разумным учитывать при любом подходе к измерению несклонности к риску.

Продолжим наше рассуждение, чтобы подойти к решению вопроса об установлении меры «несклонности» к риску. Представляется желательным, чтобы такая мера, помимо всего прочего,

1) указывала, что отражает функция полезности — несклонность или же, напротив, склонность к риску (это может быть сделано при помощи и 2) была одинаковой для стратегически эквивалентных функций полезности. Если стратегически эквивалентные функции, то ясно, что так что Исходя из этого, мы можем заметить, что Таким образом, подходящей мерой несклонности к риску, по-видимому, может быть отношение Это отношение было исследовано, и оказалось, что такая мера обладает многими желательными свойствами.

Определение. Локальная несклонность к риску в точке риску определяется с помощью функции несклонности

С вычислительной точки зрения полезно заметить, что

Функция несклонности к риску несет в себе наиболее существенную информацию, относящуюся к и, опуская несущественные детали.

Теорема 4.9. Две функции полезности стратегически эквивалентны тогда и только тогда, когда они приводят к одной и той же функции несклонности к риску.

Доказательство. Пусть . Ясно, что и , так что

Для доказательства обратного утверждения заметим, что согласно (4.14) Интегрирование обеих частей этого равенства дает

где с — постоянная интегрирования. Используя операцию возведения в степень числа получаем

И, еще раз интегрируя, окончательно получаем

Поскольку константы, позволяет восстановить с точностью до положительного линейного преобразования.

4.5.1. Интерпретация функции несклонности к риску. Попытаемся дать «физическую» интерпретацию функции несклонности к риску. Обозначим через наше первоначальное состояние, регистрируемое по шкале рассматриваемого критерия X, и введем дополнительно к лотерею х с ожидаемым выигрышем равным нулю, и дающую выигрыши только из малого интервала шкалы Пусть надбавки за риск лица, принимающего, решение, к лотерее

По определению детерминированного эквивалента

Используя формулу Тейлора для разложения обеих частей равенства (4.15), получаем, что

и

Приравнивая (4.16) и (4.17) и отбрасывая члены высших порядков малости, получаем

Учитывая, что это дисперсия лотереи х, так как и перегруппировав члены в (4.18), получим

где определяется формулой (4.13).

Таким образом, при установленном начальном уровне надбавка за риск к лотерее с небольшим интервалом возможных выигрышей и в первом приближении в раз больше половины дисперсии х. Иными еловами, для таких лотерей значение функции несклонности к риску равно удвоенной надбавке за риск, приходящейся на единицу дисперсии.

Для того чтобы лучше «прочувствовать» смысл этой функции разберем два примера.

Пример 4.9. Для того чтобы найти функцию несклонности к риску при , находим и Следовательно, согласно (4.13)

Для этой же функции полезности в табл. 4.1 мы привели ожидаемые выигрыши х и детерминированные эквиваленты х для трех лотерей вида и трех разных значений с. Используя эти данные, легко подсчитать надбавку за риск для всех этих лотерей. Эти числа даны в табл. 4.4.

Заметим, что для любого данного значения с надбавка за риск к лотереям вида одна и та же. Заметим еще, что по мере уменьшения с надбавка за риск к одной и той же лотерее становится меньше и что все надбавки за риск положительны.

Замечания, подобные сделанным, могут привести к постановке вопроса о том, какого рода общие утверждения о предпочтениях принимающего решение, можно сделать, зная его функцию несклонности к риску.

Таблица 4.4. Функция несклонности к риску, и

Теорема 4.10. Если положительна при всех х, то и вогнута и принимающий решение не склонен к риску.

Доказательство. Предположим, что положительна. Тогда, поскольку и всегда положительна ( — возрастающая функция), должна быть отрицательной. Отсюда следует, что и вогнута, и поэтому принимающий решение не склонен к риску.

Как и следовало ожидать, справедливо и обратное утверждение.

Теорема 4.11. Если отрицательна при всех х, то и выпукла и принимающий решение склонен к риску.

Пусть — две функции полезности, соответствующие функции несклонности к риску. Тогда из (4.19) мы можем увидеть, что если в данной точке то надбавка за риск к лотерее х с малым интервалом выигрышей и больше, чем соответствующая надбавка за риск Однако более важный результат, справедливый для любой лотереи, состоит в следующем.

Теорема 4.12. Если при всех х, то для всех

Иными словами, если для локальная несклонность к риску всюду больше, чем для то надбавка за риск к любой лотерее больше при чем при Это означает, что повсеместное выполнение локального условия влечет за собой естественное глобальное следствие.

Доказательство. Предположим, что Тогда разность

отрицательна. Поэтому функция убывающая. Заметим, что производная

также убывает с ростом поскольку убывает Следовательно, — вогнутая функция от

С другой стороны, по определению,

Вычитая одно из другого, находим

где Так как вогнута, из неравенства Йенсена получаем

Подставляя это в предыдущее выражение, приходим к требуемому результату:

Следует отметить, что установленный выше результат не требует введения ограничений на знаки Таким образом, верждение справедливо как для склонных, так и для не склон» к риску лиц, принимающих решения.

Представляется уместным пояснить следствия из предыдущего результата. В примере 4.9 мы показали, что функция несклонности к риску при равна с. В табл. 4.4 указано, что надбавка за риск к равна 2,15, если и 1,2, если Это иллюстрируется рис. 4.10, где принято и положено Наш результат показывает, что поскольку при всех для должно быть больше, чем для Рис. 4.10 это подтверждает.

Рис. 4.10. Связь между надбавкой за риск и функцией несклонности к риску

Рис. 4.11. Связь между функцией несклонности к риску и надбавкой за риск при

На рис. 4.11 показана зависимость надбавки за риск и детерминированного эквивалента для от параметра с функции полезности (при несклонности к риску). Как и

следовало ожидать, надбавка за риск к лотерее возрастает, а детерминированный эквивалент уменьшается по мере того, как возрастает несклонность к риску. Для всех значений с надбавка за риск и детерминированный эквивалент в сумме равны ожидаемому выигрышу (который в данном примере всегда равен 5).