9.3. НАЛИЧИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ: ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ ДЛЯ ВРЕМЕННЫХ ПОТОКОВ

Большинство проблем, в которых важны временные соображения, связаны с неопределенностями, поскольку трудно точно предсказывать будущее. Поэтому нам желательно получить функцию полезности и для временного потока Тогда математическое ожидание величины и (может использоваться при принятии решений, связанных с неопределенностью. В том случае, когда выполняются необходимые условия для применения результатов, описанных в гл. 5 и 6, естественно, мы можем к ним прибегнуть при структуризации и. Эти результаты, как правило, позволят строить многопериодные функции полезности с помощью функций

полезности для одного (периода. Однако при этом на размерность последствий для одного периода никаких ограничений не накладывается. Они могут быть многомерными.

Основной нашей целью будет построение функций полезности для временных потоков потребления где с — величина потребления в период Разумеется, с точки зрения интерпретаций, может быть, естественнее рассматривать величину как «наследство», а не потребление, т. е. как сумму, оставляемую «наследникам». Для удобства шкалирования будем считать, что зафиксированы базовый поток потребления и «верхняя граница» .

Сначала мы обсудим двухпериодный Случай, чтобы пояснить основные идеи, а затем обобщим его для периодов и непрерывных потоков потребления.

9.3.1. Двухпериодный случай. Пусть суть используемые критерии потребления в периоды 1 и 2 соответственно. Тогда произвольный ноток потребления будет представляться в виде Прежде всего, рассмотрим возможные следствия взаимной независимости по полезности. Из теоремы вытекает, что

где

Шкалирующие коэффициенты здесь положительны и

Теперь добавим допущение о стационарности, т. е. предположим стабильность предпочтений во времени. Выражаясь формальным языком, это означает, что если 6 одинаков по предпочтению с лотереей дающей шансов за с и шансов за с", где все последствия относятся к периоду 1, то 6 должен быть равноценен участию в такой же лотерее в период 2. Отсюда с учетом шкалирующих условий (9.6) и (9.7), следует, что функция полезности для каждого из периодов одинакова. Обозначим эту функцию полезности через и , так что

Объединяя это с предыдущим результатом (9.5), получаем

Необходимо рассмотреть три случая: коэффициент равен нулю, положителен или отрицателен. Если то выражение (9.10) сводится к аддитивной функции

где, кроме того, если поток потребления с") предпочтительнее потока всякий раз, когда большие потребления предпочтительнее иметь в более ранние моменты времени. В таком случае выражение (9.11) представляет собой эффективное дисконтирование полезностей.

Теперь предположим, что коэффициент не равен нулю. Умножим обе стороны равенства (9.10) на и прибавим к ним по 1, в результате получаем

Если коэффициент положителен, то каждая из функций является функцией полезности в соответствующей области, поэтому мы можем рассматривать выражение (9.12) в качестве мультипликативной функции полезности

а если отрицателен, то выражение (9.10) сводится к

где как в выражении (9.13), так и в выражении (9.14). Выражение (9.14) мы будем называть негативной формой мультипликативной функции полезности, поскольку каждая из функций является функцией «неполезности» (иначе говоря, «ущерба»).

Остановимся теперь вытекающих из выражений (9.11), (9.13) и (9.14) выводах относительно психологического отношения к различным потокам потребления. Рассмотрим предпочтения для потоков потребления , где потребление в каждый из периодов идентично (так называемые постоянные или равномерные потоки). Допустим, например, что уровень потребления таков, что поток эквивалентен лотерее Сравним этот уровень с однопериодным случаем и зададимся вопросом: какова та величина которая эквивалентна участию о лотерее где с и с" — уровни потребления в один и тот же период? Будет ли равным больше его или меньше? Если тогда должна иметь аддитивная функция (9.11), если выполняются остальные условия, обеспечивающие существование аддитивной или мультипликативной функций. Если то имеет место положительная мультипликативная функция полезности (9.13). Если то подходит негативная мультипликативная функция (9.14).

Во многих случаях представляется естественным считать, что должно быть меньше А Для пояснения этого предположим, что дол. и дол. Допустим, что для любого отдельно взятого периода (например, в один год) детерминированным эквивалентом для лотереи <50 000 дол., 1/2, является величина в 25 000 дол. Мы не очень боимся риска, потому что, если была бы выбрана эта лотерея и результатом было бы 10 000, то это был бы результат для одного года, а в другой год

результат еще будет разыгрываться. Однако три отыскании детерминированного эквивалента для двухпериодной лотереи дол., 50 000 дол.), 1/2, (10 000 дол., мы возможно выберем (22000 дол., 22 000 дол.), потому что перспектива низкого уровня потребления по 10 000 дол. в оба года уже мало привлекательна. Такое отношение с нашей стороны потребует в предыдущем случае принять

Определим функцию полезности для равномерных потоков потребления как

где согласно соотношениям (9.6) и (9.7) . Если мы не склонны к риску в отдельно взятые периоды, т. е. для всех с и с", то очевидно, что мы будем еще менее склонны к риску, рассматривая двухпериодные потоки равномерного потребления, если В этом случае мера несклонности к риску для одного периода всегда меньше меры несклонности к риску для двухпериодного потока с равномерным потреблением. Шкалирующий коэффициент является индикатором нашего отношения к риску в многопериодных ситуациях. Чем меньше тем больше будет наша несклонность к риску для потоков с равномерным потреблением (см. работу Ричарда (1976)).

Рассмотрим еще одну двухиериодную ситуацию: пусть лицо, принимающее решение, должно сделать выбор между лотереей и лотереей В каждой лотерее равные шансы получить наилучшие и наихудшие последствия в каждый из периодов. Однако в мы получаем наихудшее последствие в один период и наилучшее в другой, независимо от исхода розыгрыша лотереи, тогда как в оба периода окажутся либо максимально хороши, либо предельно плохи. Многие считают, что предпочтительнее а не что (см. § 5.4) указывает на и, следовательно, для этих людей характерна большая несклонность к риску (т. е. они менее охотно идут на риск) в случае потоков с равномерным потреблением, чем в однопериодных ситуациях.

9.3.2. Многопериодный случай. Теперь обобщим предыдущие идеи и результаты для потоков потребления распространяющихся на периодов; при этом потребление в период, т. е. будет трактоваться нами как своеобразное «остающееся наследство». Обозначим вектор будущего потребления через а вектор потребления в прошлом через Допустим, что поведение лица, принимающего решение, характеризуется следующими моментами: 1) решения о будущем потреблении (принимаемые в каждый

отдельный период) не зависят от потока потребления, имевшего место ранее 2) принимая решения, оно заботится лишь о потоке потребления, который будет иметь место только при его «жизни», т. е. ограничивается рассмотрением потока потребления и не обращает внимания на «наследство», которое останется после него. Тогда мы имеем следующую теорему.

Теорема 9.2. Если не зависит по полезности от для всех и если не зависит по полезности от то функция должна иметь либо вид

либо вид

1. нормализована условиями .

2. — однопериодная функция полезности для нормализованная условиями

4. k есть ненулевое решение уравнения при

Ранее было показано (см. теорему 6.2), что эти допущения влекут за собой взаимную независимость по полезности критериев Отсюда на основании теоремы 6.1 следует, что и может быть выражена в виде аддитивной или мультипликативной функций.

Для двухпериодного случая было показано, что идентичность предпочтений относительно одних и тех же лотерей в периоды позволяет определить общую функцию полезности

При этом допущении аддитивная и мультипликативная функции (9.16) и (9.17) преобретают вид

соответственно.

Постоянная играет одинаковую роль как в выражении (9.19), так и в выражении (9.12). Рассмотрим теперь предпочтения для равномерных потоков потребления вида . Тогда, если, «равномерный» детерминированный эквивалент для лотереи таков, что меньше

детерминированного эквивалента для лотереи с однопериодными исходами с, с", то мы должны иметь откуда, как показано в приложении Это означает, что мы менее склонны к риску относительно потоков с равномерным потреблением, чем в однопериодном случае. Такой же вывод следует из получаемых расчетным путем значений функций несклонности к риску, порождаемых функцией полезности

и однопериодной функции полезности и .

Кроме того (см. двухпериодный случай), если коэффициент отрицателен, и мы имеем возможность выбора между лотереями для периодов где суть потребления в периоды то будет предпочтительнее. Интуитивно это кажется правильным, так как оба двухпериодных исхода в содержат в себе период с высоким потреблением, который может частично компенсировать период с низким потреблением. Если лицу, принимающему решение, будет безразлично, что выбрать или то это будет означать, что функция полезности (9.16) аддитивна. Если же будет предпочтительнее, чем то имеет место мультипликативная функция (9.17) при В этой ситуации мы в меньшей степени несклонны к риску в лотереях, исходами которых являются -периодные потоки равномерного потребления, чем в случае однопериодных лотерей.

9.3.3. Непрерывные потоки потребления. Большинство результатов § 9.2 и 9.3 можно распространить на непрерывные потоки. Если время непрерывно, естественно оперировать величинами, характеризующими «скорость» потребления; поэтому пусть обозначает «скорость» потребления в момент времени тогда есть собственно потребление «а интервале времени Пусть изменяется в интервале . Тогда можно обобщить соотношения (9.16) и разделив на равных интервалов длиной конец периода и переходя к пределу при устремлении к бесконечности. Результатов будет «аддитивный» или «мультипликативный» функционал Легко видеть, что величина являясь значением функции когда принимает свое базовое значение на , кроме отдельного интервала продолжительностью должна иметь порядок поэтому вместо мы используем Мы также заменяем на Таким образом, соотношение (9.16) переходит в

Аналогично соотношение (9.17) тереходит в

Аддитивная форма (9.20) широко использовалась экономистами, особенно в стационарном случае, когда величина имеет экспоненциальный характер и не зависит от Мультипликативная форма (9.21) применялась в работах Мейера (1970), Ричарда (1972) и Пая (1973).