9.2. СЛУЧАЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ: ФУНКЦИИ ЦЕННОСТИ ДЛЯ ВРЕМЕННЫХ ПОТОКОВ

Допустим, что лицо, принимающее решение, стоит перед выбором из двух альтернатив: одна альтернатива ведет к последствию а вторая — к где обозначают последствия в год считая от текущего года. Тот факт, что мы предусмотрели периодов и для х, и для у, не является ограничением, так как «отсутствующее» последствие в какой-то конкретный год может быть принято за «пустое», т. е. совершенно безразличное для нас последствие. Вопрос о том, какую альтернативу следует выбрать, сводится к тому, что предпочтительнее, х или у. Как уже говорилось, последствие в каждый данный год может включать наряду с денежными много неденежных факторов. Однако в целях упрощения рассмотрения предположим, что все необходимые допущения для «денежной оценки» неденежных переменных, описанные в гл. 3, являются оправданными, так что х и у могут рассматриваться как потоки денежных доходов и расходов. Тогда, если в определенный период общий денежный поток положителен, то лицо, принимающее решение, может использовать часть его на потребление (скажем, на выплату дивидентов и премий, если речь идет о деятельности корпорации, или на субсидии в случае ее основания), а другую часть — на дальнейшие капиталовложения.

Обычно предлагаемая процедура заключается в дисконтировании потока с использованием некоторого стандартного коэффициента, отражающего обычную скорость роста капитала или его «стоимости». Применение этой процедуры оправдывается тем, что сегодняшние деньги могут быть использованы для получения новых денег в будущем (кроме того, здесь еще учитывается и тот факт, что лучше иметь возможность потреблять сегодня, а не завтра). Если являются неопределенными, то на практике применяются различные методы: 1) дисконтирование ожидаемого, денежного потока в каждый период с наиболее высоким значением коэффициента дисконтирования (и тем самым как-то «компенсируется» неопределенность), 2) дисконтирование детерминированных эквивалентов с помощью определенного коэффициента дисконтирования, 3) дисконтирование полезности с помощью некоторого коэффициента, 4) дисконтирование различных возможных детерминированных потоков (с определенным значением коэффициента дисконтирования) с последующим нахождением количественных значений полезности приведенных (к настоящему моменту времени) таким образом потоков и взвешиванием этих полезностей (с помощью соответствующих вероятностей реализации рассматриваемых потоков). Вышеперечисленные подходы будут рассмотрены с позицией результатов, изложенных в этой книге.

9.2.1. Приведенная (к настоящему моменту времени) ценность. Первым шагом в оценке временных потоков в условиях

определенности может быть построение функции ценности для всех возможных потоков. Тогда выбор лучшей альтернативы будёт сводиться к отысканию альтернативы, обладающей наибольшей ценностью. Даже в тех случаях, когда имеется неопределенность (а тгак обычно и бывает), нахождение функции ценности может быть очень полезной частью процедуры построения функции полезности (см. § 5.1). Поэтому примем допущение о том, что мы находимся в условиях определенности, и рассмотрим пример, чтобы проиллюстрировать понятие ценности, приведенной к настоящему моменту времени.

Допустим, что имеется денежный поток где характеризует поток в текущем году, в следующем году и т. д. Мы можем применить процедуру последовательного приведения, описанную нами ранее в гл. 3. Если уменьшится до нуля, какое компенсирующее изменение должно быть сделано в чтобы ценность для нас этого потока не изменилась? Иными словами, мы ищем такое значение чтобы два потока

были для нас равноценными. Скорее всего, будет зависеть от но также может зависеть от Допустим, что Мы могли бы использовать часть излишка для капиталовложений в год 3, а часть для потребления. Даже если достоверны, мы, возможно, будем не уверены в благоприятных возможностях для капиталовложений в год 3. Более того, даже, если два потока (9.1) одинаковы по предпочтительности, это совсем не значит, что лицо, принимающее решение, должно следовать тому же порядку капиталовложений и потребления в году 2, как это ранее предполагалось для этого года.

Несмотря на все эти замечания, мы можем все-таки просить лицо, принимающее решение, указать такое чтобы получить равноценный поток. Но мы должны иметь в виду, что это может повлечь за собой рассмотрение дополнительных внешних факторов, которые сами по себе неопределенны.

Далее мы отыскиваем такое, чтобы были одинаковы по предпочтительности. Вновь может зависеть от неопределенных возможностей капиталовложений в году 2. Наконец, мы находим такой, чтобы были одинаковыми по предпочтению. В силу транзитивности мы теперь имеем равноценность между .

Значение будем называть (обобщенной) приведенной величиной потока Если мы примем очень мало ограничивающее нас допущение о том, что большее количество денег предпочтительнее, чем меньшее, то обобщенная приведенная (к настоящему моменту) величина денежного потока может рассматриваться как функция ценности для всего временного потока.

Заметьте, что при получении мы не делали никаких особых допущений относительно того, как сравниваются последствия для период Однако, если необходимо дать оценку ряда потоков, как чаще всего бывает при наличии неопределенности, то работа, связанная с нахождением приведенной ценности каждого потока, становится безнадежной из-за своей трудоемкости, если не принять некоторые упрощающие предположения о предпочтениях типа, описанных в гл. 3. Как правило, это делается так: допускается дисконтирование будущих денежных доходов (или расходов), обычно с помощью постоянного коэффициента дисконтирования. В следующем пункте мы рассмотрим эту процедуру, но сначала обсудим два варианта упомянутой выше процедуры последовательного приведения.

Выше мы искали значение такое, чтобы Мы перевели в так называемое базовое значение, равное нулю, и подобрали так, чтобы сохранить равноценность потоков. Мы могли бы выбрать некоторую заранее установленное базовое значение не равное нулю, и затем искать такое значение чтобы Продолжая таким образом, мы могли бы ввести другие базовые значения и, последовательно обеспечивая сохранение равноценности, получили бы значение такое, чтобы

Если для другого потока нам удалось бы подобрать

то сравнение потоков х и у свелось бы к сравнению

Чаще, особенно при рассмотрении потоков потребления (или затрат), в отличие от денежных потоков, более удобно пользоваться базовыми значениями, не равными нулю. Разумеется, ничто не мешает нам для удобства выбрать

В некоторых случаях для нас представляет интерес постоянный поток (скажем, расходов), который был бы одинаков по предпочтительности с первоначальным непостоянным потоком Так, например, можно найти поочередно значения такие, чтобы

Если бы также поступили с и показали, что

то снова сравнение х и у свелось бы к сравнению Все это довольно очевидно и весьма просто с теоретической точки зрения, тем не менее именно этот метод часто применяется благодаря своей простоте и понятности.

9.2.2. Дисконтирование денежных сумм с постоянным коэффициентом дисконтирования. Приведенная к настоящему моменту времени величина потока доходов вычисленная при постоянном значении коэффициента дисконтирования равна

где Это, конечно, верно при условии, что денежная сумма в период равноценна сумме в период в период и так для всех периодов. Пользуясь таким критерием, мы тем самым предполагаем, что предпочтительнее, чем тогда и только тогда, когда для соответствующих приведенных потоков, рассчитанных по формуле (9.2), верно неравенство Кроме того эти потоки одинаковы по предпочтению, если Рассмотрим некоторые свойства, справедливые при использовании постоянного коэффициента дисконтирования.

1. Доминирование. Поток доминирует над потоком если для всех по крайней мере для одного Легко доказать, что если х доминирует над у, то при любом коэффициенте дисконтирования. Обратное неверно, так как нетрудно привести примеры, когда для всех но х не доминирует над у. Например, .

2. Последовательная парная независимость по предпочтению. Это свойство имеет место, если результат сравнения по предпочтению двух потоков х и у, которые различаются только в периоды не зависит от общих одинаковых значений потоков х и у в любой период отличный от или (для всех Такая концепция была детально рассмотрена в гл. 3, но проиллюстрируем ее смысл в теперешнем контексте.

Рассмотрим поток . Допустим теперь, что х изменен путем добавления величины к сумме, получаемой в периоде 4, и сокращения суммы, получаемой в периоде 5, на одну единицу, что дает нам . Заметьте, что суммы в периоды 1, 2, 3, 6 и 7 остаются неизменными. Если то ясно, что х предпочтительнее, чем у (вследствие доминирования). Для некоторой большой величины , вероятно, будет справедливо, что Нас интересует коренной вопрос: какой должна быть величина , чтобы х и у были одинаковы по предпочтению.

Этот вопрос связан с замещениями денежных сумм (доходов) в периоды 4 и 5. Действительно, рассматривая такие замещения, нужно ли иметь в виду действительные потоки в другие периоды, кроме 4 и 5? Должна ли величина Я, при которой х и у одинаковы по предпочтению, зависеть от размеров потоков в периоды соответственно (в данном случае от последовательности величин

Если при выборе между х и у используется постоянный коэффициент дисконтирования, то ответ на последний вопрос будет «нет». И приведенные величины потоков х и у соответственно будут иметь одинаковые вклады от периодов 1, 2, 3, 6 и 7. Критерий для сравнения потоков, основанный на постоянстве коэффициента дисконтирования, удовлетворяет допущению о последовательной парной независимости по предпочтению.

Заметим мимоходом, что когда выражение (9.2) применяется в качестве функции ценности для упорядочения потоков по их предпочтительности, то не только любая последовательная пара периодов не зависит по предпочтению от остальных периодов, но это верно и для любой пары, периодов где не обязательно равно

3. Постоянный коэффициент парного замещения. Критерий для выбора потоков, который удовлетворяет предположению о последовательной парной независимости по предпочтению, называется критерием, обладающим постоянным коэффициентом замещения, если для любого кривые безразличия для величин являются параллельными прямыми линиями. При постоянном коэффициенте дисконтирования означающем, что одна единица в период 11 стоит единиц в период справедливо свойство постоянного парного замещения. Мы допускаем и такой случай, когда зависит от

4. Парная инвариантность. Если кривые безразличия в пространстве одинаковы для всех то мы можем сказать, что предпочтения попарно инвариантны. Критерий, основанный на использовании постоянного коэффициента дисконтирования, также обладает этим свойством.

Мы перечислили свойства, необходимые для того, чтобы проиллюстрировать интересный результат.

Теорема 9.1. Единственным критерием оценки, который удовлетворяет свойствам 1, 2, 3 и 4, является величина приведенной ценности, вычисляемая с помощью постоянного коэффициента дисконтирования.

Вместо формального доказательства этого результата, покажем его справедливость на примере. Начнем с временного потока х, представленного в табл. 9.1. Допустим, что потоки в первых трех периодах (т. е. зафиксированы, и поставим

Таблица 9.1. Дисконтирование с постоянным коэффициентом

вопрос: как следует изменить поток в период 4, чтобы компенсировать уменьшение в период 5 с 3 единиц до 0. Иными словами, нас интересует, как велико должно быть чтобы два потока, указанные ниже, были одинаково желательны:

Если мы обратимся к принципу парной независимости по предпочтению, то увидим, что не должно зависеть от —5, —3 и 8. Если мы применим принцип постоянства коэффициента замещения, то кривые безразличия, описывающие наши предпочтения для потоков в периоды 4 и 5, будут параллельными прямыми линиями. Чтобы рассмотреть конкретный пример, допустим, что соответствующий коэффициент дисконтирования Тогда Таким образом, согласно данным табл. 9.1, мы имеем

Теперь найдем такое значение с, чтобы нижеприведенные потоки были одинаково желательными:

В соответствии с двумя принципами, изложенными выше, с может зависеть только от потоков в периоды 3 и 4. Если воспользоваться принципом парной инвариантности, то кривые безразличия для периодов 3 и 4 должны быть идентичны кривым для периодов 4 и 5. Отсюда .

Применяя ту же аргументацию, что была использована выше, получаем . В силу транзитивности отношения безразличия находим, что исходный поток х одинаков по предпочтению с вырожденным потоком, обладающим приведенной ценностью 1, равной 3,46. Легко показать, что

Иными словами, 3,46 есть приведенная ценность потока х, вычисленная при постоянном коэффициенте дисконтирования

Коль скоро, рассматривая поток х, мы приняли для значение 7,78, то согласно принципам парной независимости по предпочтению, постоянства коэффициента замещения и парной инвариантности мы должны далее согласиться со значениями 14, 20; 9, 14 и 3,46.

Теперь допустим, что мы должны осуществить выбор между потоками х и у. Мы знаем, что х одинаков по предпочтению потоком . Если приведенная ценность потока у равна 3,23 при коэффициенте дисконтирования, равном 8%, то у будет одинаков по предпочтительности с потоком Вместо того чтобы сравнивать х и у, мы можем теперь сравнить потоки .

Согласно принципу доминирования первый поток должен быть предпочтительнее второго.

Этим мы заканчиваем показ того факта, что принципы доминирования, последовательной парной независимости по предпочтению, постоянства коэффициента замещения и парной инвариантности приводят к критерию приведенной (к настоящему моменту времени) величины потока (иначе говоря, приведенной ценности), вычисляемой с помощью постоянного коэффициента дисконтирования. Поскольку мы показали и обратное, то мы можем сказать, что эти принципы характеризуют критерий приведенной ценности при постоянном коэффициенте дисконтирования.

Выражение (9.2) можно обобщить несколькими способами:

1. Использовать переменный коэффициент дисконтирования, например, в виде

где не обязательно имеет вид Может оказаться удобным представить в форме и считать а (при коэффициентом, который дисконтирует денежный поток из периода в период Критерий (9.3) удовлетворяет свойствам доминирования, последовательной парной независимости по предпочтению и постоянства коэффициента замещения, не парной инвариантности.

2. Использовать аддитивную функцию ценности вида

В этом случае используемый критерий характеризуется монотонностью и парной независимостью по предпочтению (для всех пар, не только последовательных). При этом мы могли бы наложить ограничения на функции чтобы обеспечить парную инвариантность. Например, как будет показано в следующем пункте, мы можем положить

где у функции нет нижнего индекса.

9.2.3. Допущения о стационарности и упорядочение по предпочтению для бесконечных потоков. Одной из первых работ в этой области явилась работа Тьеллинга Купманса (1972), в которой он исследовал допущения, приводящие к выражению (9.4).

Профессор Купманс структуривовал предпочтения для временных потоков с бесконечными горизонтами. Рассматриваемые потоки представлялись в виде где под понимается, например, потребление в период времени Потребление может являться векторной величиной, но множество его возможных значений должно представлять собой связное подмножество конечно-мерного евклидова пространства. Купманс постулировал существование полного упорядочения по предпочтению

пространства таких бесконечных потоков. Выражение надо понимать так: лоток х предпочтительнее потока у или же эти потоки одинаковы по предпочтению. Для обеспечения математической строгости он требовал также, чтобы это упорядочение то предпочтению было непрерывным в следующем смысле: для любых всякий достаточно близкий к такой, что ни одна компонента не отличается от соответствующей компоненты более чем на малую величину будет предпочтительнее, чем у, а всякий достаточно близкий к у, будет менее предпочтителен, чем х. Затем он исключил неинтересные случаи, когда все потоки одинаковы по предпочтению и когда предпочтения между двумя любыми потоками определяются только их асимптотическим поведением на большом удалении во времени. Например, он исходил из того, что потребление в течение ближайших 100 лет или примерно в течение этого срока должно влиять на упорядочение по предпочтению, что вполне резонно. Однако некоторые из его допущений представляют собой довольно серьезные ограничения.

Грубо говоря, далее Купманс ввел систему допущений, из которой следовала (в нашей терминологии) парная независимость по предпочтению, и на основании этого установил существование аддитивной функции ценности. Но он был более умеренным, чем мы, в своих исходных предположениях и допускал лишь, что:

1. Потребление в период 1 не зависит по .предпочтению-от потребления в другие периоды.

2. Потребление в период 2 не зависит но предпочтению от потребления в другие периоды.

3. Для потребления в периоды 1 и 2 имеет место парная независимость по предпочтению от потребления в другие периоды.

4. Стационарность (это самое сильное и самое спорное из допущений Купманса). Если два потока характеризуются идентичным потреблением для первого периода, то модифицированные потоки, полученные путем исключения первого периода потребления и сдвига по времени назад на один период всех последующих потреблений, упорядочены так же, как и первоначальные потоки. Например, потоки

должны быть упорядочены так же, как и потоки

Это очень привлекательно, но далеко не безобидно!

Используя это сильное допущение о наличии стационарности наряду с менее ограничительным допущением относительно парной независимости по предпочтению, которое затрагивает потребление только в периоды 1 и 2, он доказал полную парную независимость по предпочтению ,и на этой основе установил существование аддитивной функции ценности имеющей вид

Но теперь мы должны вновь прибегнуть к стационарности, чтобы найти соотношение между функциями и доказать, что

Поскольку значения на упорядочение не влияют, мы можем опустить у нижний индекс и принять

Таким образом, принимает вид

Далее Купманс использует допущение непрерывности, чтобы доказать, что Это действительно замечательный результат. Если мы убеждены в правомерности сделанных допущений с точки зрения их психологической приемлемости для лица, принимающего решение (а так обычно и бывает в ряде практических ситуаций!), то нам нужно лишь построить функцию ценности и определить коэффициент дисконтирования а.

Мы могли бы, например, построить используя метод половинного деления по ценности (если сами компоненты для одномерны) или его многомерное обобщение, изложенное в гл. 3. После того как будет построена, мы можем подобрать два потока вида

которые одинаковы по предпочтению, хотя и затем вычислить коэффициент а, решив (относительно а) уравнение

9.2.4. Примеры использования дисконтирования. Имеется много других ситуаций, в которых может быть применена та или иная форма дисконтирования. Мы покажем это на двух примерах.

Пример А. Вот типичная ситуация, отражающая ряд важных аспектов многих реальных проблем. Принимающий решение должен выбрать один проект из множества подготовленных проектов. При этом принятие любого проекта влечет за собой поток денежных потерь (негативные ценности) и приобретений (позитивные ценности). В каждом дискретном временном интервале лицо, принимающее решение, может потратить (например, на потребление) некоторую часть имеющихся у него средств и вновь сложить в дело оставшуюся часть. Для простоты допустим, что все новые капиталовложения остаются все время стандартными (например, в виде краткосрочных облигаций). Допустим также, что он может брать средства в виде ссуды из одного источника кредитования. При этом за пользование ссудой с него берут твердо установленный процент (такого рода процент за выдачу, например, банковского кредита, иногда называют учетной ставкой). Принимающий решение стремится выбрать такой проект и такой соответствующий поток потребления, которые бы максимально

соответствовали его предпочтениям. В нашей детерминированной, упрощенной ситуации мы допускаем, что его основные предпочтения относятся к потокам потребления и что временные потоки денежных потерь и приобретений, связанные с выбором какого-либо проекта, представляют интерес лишь как возможности для достижения различных целей потребления. При соответствующей интерпретации потребления этот пример одинаково приложим как для корпорации или общества, так и для отдельного лица.

Теперь «ведем несколько новых обозначений. Пусть А обозначает набор возможных проектов, а - какой-либо проект. Пусть для любого а из означает последовательность денежных перемещений и пусть связанное с каждым потоком множество потоков потребления, совместимых и с той финансовой ситуацией, при которой возможно перемещение денег из одного периода в другие, более ранние или поздние периоды. Преобразование Т — это точечно-множественное отображение одного потока перемещаемых денег во многие возможные потоки потребления, которое характеризует существующую финансовую обстановку. Типичным элементом множества будет поток потребления Проект а будет предпочтительней проекта а, если из множества мы можем выбрать поток потребления, который предпочтительнее любого потока потребления из множества Таким образом, зная (преобразование Т, мы можем получить упорядочение по предпочтению потоков х на основе точно указанного упорядочения по предпочтению потоков с.

Но теперь мы подошли к кульминационному моменту, хорошо известному большинству экономистов. Довольно различные функции предпочтения для с могут привести (через Т) к одним и тем же (или почти одним и тем же) функциям предпочтения для х. Например, если мы можем ссужать или получать заем под один и тот же ссудный процент (с одной и той же учетной ставкой), т. е. переводить денежные суммы вперед и назад с известным коэффициентом дисконтирования, то можно легко показать, что независимо от исходного упорядочения потоков с индуцированное упорядочение потоков х определяется на основе простого дисконтирования с этим коэффициентом дисконтирования. Для доказательства этого результата достаточно воспользоваться следующей элементарной теоремой: если с совместимо с х (в частности, что значит, что дисконтированная величина с меньше аналогичной величины для и если приведенная величина х больше аналогичной

величины для х, те с совместимо с х. Иными словами, что означает что «диктат принадлежит рынку и что рыночный ссудный процент определяет перемещение денег», даже если мы и не будем выражать наши предпочтения для потоков потребления через дисконтирование.

Пример Б. Этот пример отражает другой, по нашему мнению очень важный, аспект этой чрезвычайно сложной области. Допустим, что каждое действие а порождает поток последствий: где — денежная сумма и суммарное описание воздействий на окружающую среду в период Мы можем представить как векторную величину, характеризуемую с помощью нескольких критериев. Основное в нашей задаче — произвести парное сравнение двух потоков Например, применительно к проблеме управления лесным хозяйством внимание соответствующего правительственного органа часто привлекают два фактора: последовательность чистых денежных перемещений и последовательность состояний окружающей среды. Если у нас есть основания полагать, что каждая пара критериев не зависит по предпочтению от других пар, то мы можем выразить («оценить») компоненты критерия Е при помощи критерия В частности, мы можем ввести базовое состояние и использовать вместо каждой пары одинаковую по предпочтению пару вида Проделав это для всех мы сможем найти для каждой последовательности одинаковую по предпочтению последовательность Таким образом, мы придем к последовательности подразумевая, что с этой последовательностью связан постоянный поток состояний окружающей среды Если далее окажется правомерным дисконтирование последовательности х, то мы сможем представить желательность исходной последовательности в виде пары Если мы вдобавок сможем выразить как

не имеет нижнего индекса, то величину можно будет считать той ценой, которую нужно заплатить за превращение когда денежная компонента находится на уровне В этом случае мы имеем

и снова видим, что денежный коэффициент дисконтирования а относится и к воздействиям на окружающую среду. Конечно, такой результат зависит от ряда сильных предположений, которые зачастую бывают сомнительны в реальной обстановке. Еще более ограниченный случай мы получим, если принять, что не зависит от уровня

Теперь вернемся назад и рассмотрим другие допущения. Если набор критериев X в совокупности не зависит по предпочтению от критериев Е, то тогда мы можем попытаться упорядочить денежный поток при помощи некоторой функции ценности (например, в результате дисконтирования). Допуская далее, что критерии Е не зависят по предпочтению от критериев X, придем к задаче определения структуры наших предпочтений для потоков вида Принимая некоторые допущения, сходные с допущениями Купманса, мы можем показать оправданность использования функций вида для оценки предпочтительности потоков В этом случае коэффициент дисконтирования в общем случае будет отличен от денежного коэффициента дисконтирования а. Поток может тогда быть сведен к паре

Однако сколь бы ни было удобным это упрощение, нам все же представляется сомнительным, чтобы на практике действительно удалось подобрать такие разумные допущения, которые вели бы к дисконтированию функций о Камнем преткновения здесь будет наше сомнение в том, что пары критериев действительно независимы по предпочтению от остальных критериев Е. Более того, интуитивно нам представляется очевидным, что в любой период времени наши предпочтения в будущем все-таки должны зависеть от прошедшего (и наоборот). Однако такую зависимость не следует абсолютизировать. По всей видимости, должно иметь место некоторое разумное марковское условие, например в форме того, что будущее зависит от прошлого только через настоящее или, в более, может быть, общей форме, через сумму прошлого и настоящего (например, типа экспоненциально сглаженного показателя вида

или его разновидности). Более подробно об этом говорится в § 9.6.