ПРИЛОЖЕНИЕ 6Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ШКАЛИРУЮЩЕЙ КОНСТАНТЫ k В МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ

Принимая в выражении (6.14), получаем

Подставляя в выражение (6.12) значения и находим, что

или

Поскольку , а функция и положительна, из выражения следует, что

Сравнивая знаки обеих частей равенства можно сделать вывод, что

Теперь пусть Рассмотрим полином

Если удовлетворяет выражению то отметим также, что Дифференцируя выражение получаем

Отсюда следует, что функция является возрастающей и, следовательно, функция убывающая.

Положим Тогда Далее, поскольку функция является убывающей на интервале она положительна на интервале и отрицательна на интервале ( Таким образом, единственный корень уравнения на интервале и поэтому из условия следует Это соответствует только аддитивной функции полезности.

Теперь предположим, что т. е. Поскольку функция является убывающей, она положительна на интервале . Поэтому уравнение не имеет корней между и корнем в 0. Из выражения следует, что и уравнение имеет единственный корень на интервале Поскольку на интервале то уравнение не имеет корней на данном интервале. Так как отрицательна и убывает до на интервале уравнение имеет единственный корень на этом интервале. Более того, на интервале ( на интервале поэтому при условии, что поиск ограничен интервалом можно применить итеративный метод, описанный в этой книге.

Наконец, предположим, что т. е. . Поскольку является убывающей, она отрицательна на интервале Поэтому уравнение не может иметь корней справа от корня Так как непосредственно левее этого корня в то время, как на интервале , должен существовать по крайней мере один корень уравнения . Поскольку является убывающей и таких корней будет максимум один и тхри условии, что поиск ограничен интервалом , можно применить описанный нами итеративный метод.