4.8. МОНОТОННО УБЫВАЮЩИЕ И НЕМОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ

В этом параграфе мы распространяем связанные с риском понятия, введенные в последних четырех параграфах, на монотонно убывающие и немонотонные функции полезности. Вначале будет рассмотрен первый случай, порядок представления будет тем же самым, что и для монотонно возрастающих функций полезности. Определяются понятия риска и склонности к риску, вводится мера несклонности к риску, обсуждаются возрастающая, постоянная и убывающая несклонность к риску. Последний пункт посвящен немонотонному случаю. Доказательства утверждений, аналогичные представленным в предыдущих параграфах, здесь опускаются.

4.8.1. Несклонность к риску. При монотонно убывающих предпочтениях человек считается не склонным к риску, если он предпочитает получить ожидаемый выигрыш любой невырожденной лотереи вместо участия в этой лотерее. В этом случае, если, разумеется, функция полезности и описывает такие предпочтения, полезность ожидаемого выигрыша должна быть больше ожидаемой полезности лотереи. Если человек, напротив, предпочитает участие в любой невырожденной лотерее вместо получения среднего ожидаемого выигрыша (безразличен к выбору между ними) в ней, то он считается склонным к риску (безразличным к риску). Как и в случае возрастающих предпочтений, чтобы удостовериться в том, что несклонность к риску действительно имеет место, нет необходимости проверять каждую возможную невырожденную лотерею. Необходимым и достаточным условием здесь является его выполнение для всех лотерей 50—50.

Теорема 4.20. Принимающий решение не склонен к риску (склонен, безразличен к риску) тогда и только тогда, когда его монотонно убывающая функция полезности вогнута (выпукла, линейна).

Рис. 4.15 иллюстрирует эти случаи.

Прежде чем двигаться дальше, укажем два примера, в которых предпочтения монотонно убывают. Вначале рассмотрим период реагирования службы скорой помощи. Учитывая характер соотношения между периодом реагирования и состоянием пациентов, разумно принять, что при любом периоде реагирования ждать установленный детерминированный отрезок времени

предпочтительнее, чем иметь 50 шансов из 100 на ожидание и 50 шансов на ожидание Следовательно, откуда следует, что функция полезности принимающего решение вогнута. Второй пример связан с периодом реагирования полицейской службы.

Рис. 4.15. Отношение к риску при монотонно убывающих функциях полезности

В такой ситуации принимающий решение может не считать более предпочтительным ждать некоторое установленное время чем участвовать в лотерее Соображения могут заключаться в том, что вероятность задержания преступника очень быстро падает с увеличением периода реагирования. Это означает, что откуда следует, что и выпукла и имеет место склонность к риску. Принимающий решение может захотеть рискнуть в этой ситуации, чтобы иметь реальный шанс реализации малого периода реагирования.

Определения и результаты, приводимые в этом параграфе, аналогичны тем, которые были даны для случая монотонного возрастания предпочтений. А сейчас мы объясним некоторые различия. Напомним, что для возрастающих функций полезности детерминированный эквивалент для не склонного к риску индивидуума должен быть меньше, чем ожидаемый выигрыш лотереи. При убывающих функциях полезности в случае несклонности к риску верно как раз обратное. При возрастающих функциях полезности надбавка за риск, определяемая как разность между ожидаемым выигрышем и детерминированным эквивалентом представляет собой сумму, которую принимающий решение уступил бы (из ожидаемого выигрыша) за то, чтобы избежать риска, связанного с участием в лотерее. Чтобы сохранить это истолкование для убывающих функций полезности, мы вынуждены изменить определенные надбавки за риск для случая убывающих предпочтений. В этом случае мы определяем надбавку за риск к лотерее как разность между детерминированным эквивалентом и ожидаемым выигрышем в этой лотерее. Тогда отсюда следует, что надбавка за риск опять является суммой, которую принимающий решение уступил бы (от ожидаемого выигрыша) за то, чтобы освободиться от участия в данной лотерее.

Теорема 4.21. Для убывающих функций полезности принимающий решение не склонен к риску тогда и только тогда, когда надбавка за риск в любой невырожденной лотерее для него положительна.

Обратимся к примеру.

Пример 4.18. Рассмотрим убывающую функцию полезности вида отражающую несклонность к риску (см. рис. 4.16). Найдем ожидаемый выигрыш, детерминированный эквивалент и надбавку за риск для лотереи с возможными выигрышами или причем каждый выигрыш имеет вероятность 1/3. Ожидаемый выигрыш равен

а ожидаемая полезность

Следовательно, детерминированный эквивалент х здесь таков, что

Рис. 4.16. Убывающая функция полезности, иллюстрирующая несклонность к риску

Решая это уравнение, находим Тогда надбавка за риск равна 0,24.

Теперь рассмотрим склонность к риску.

Теорема 4.22. Для убывающих функций полезности следующие утверждения эквивалентны:

1. Принимающий решение склонен к риску.

2. Для любой невырожденной лотереи детерминированный эквивалент меньше, чем ожидаемый выигрыш.

3.. Надбавка за риск для любой невырожденной лотереи отрицательна.

Для пояснения этого результата рассмотрим

Пример 4.19. Пусть и нас интересует детерминированный эквивалент и надбавка за риск к лотерее <0, Ожидаемая полезность этой лотереи равна

Определяя детерминированный эквивалент из уравнения

находим Поскольку ожидаемый выигрыш надбавка за риск (см. рис. 4.17).

4.8.2. Мера несклонности к риску. Подобно тому, как это было сделано для возрастающих функций полезности, мы можем показать, что подходящей мерой несклонности к риску для убывающих функций полезности является величина

Заметим, что определяется почти так же, как в § 4.5; разница лишь в знаке минус. Причина этого, как мы увидим на примерах, связана со следующим результатом.

Теорема 4.23. Если положительна при всех х, то и вогнута и принимающий решение не склонен к риску.

Доказательство. Предположим, что положительна. Тогда, поскольку отрицательна для убывающих функций полезности, должна быть отрицательна, а это означает, что вогнута и, следовательно, принимающий решение не склонен к риску.

Таким образом, введенное понятие согласуется со случаем возрастающих функций полезности. Положительность функции несклонности к риску означает, что принимающий решение не склонен к риску.

Теорема 4.24. Две функции полезности стратегически эквивалентны тогда и только тогда, когда функция несклонности к риску для них одна и та же.

Рис. 4.17. Убывающая функция полезности, иллюстрирующая склонность к риску

Этот результат говорит о том, что произвольность в единицах измерения и начале отсчета функций полезности несущественна с точки зрения функции несклонности к риску, т. е. не влияет на отношение к риску.

Следующая теорема связывает функцию несклонности к риску (представляющую отношение принимающего решение к риску для лотерей с небольшой разницей возможных выигрышей и нулевым ожидаемым выигрышем) с его отношением к риску для любой лотереи. Но вначале определим как надбавку за риск к лотерее при данной функции полезности, приводящей к функции несклонности к риску

Теорема 4.25. Если для всех х, то больше, чем

Проиллюстрируем эти результаты следующими примерами.

Пример 4.20. В примере 4.4, используя мы нашли, что детерминированные эквиваленты для равны соответственно 7,07 и 15,8. Тогда надбавка за риск равна 2,07 для и 0,8 для Используя (4-27), мы получаем, что функцией несклонности к риску при является Она положительна при и поэтому мы ожидаем, что надбавка за риск к лотереям с выигрышами из этого интервала будет положительна. Наши результаты соответствуют этому примеру.

Заметим, что убывающая функция. Следовательно, несклонность к риску в интервале больше, чем в интервале 1—20. Поэтому можно ожидать, что надбавка за риск к отдельной лотерее х в интервале будет больше, чем к эквивалентной лотерее в интервале 10—20. Надбавки за риск к подтверждают этот вывод.

Пример 4.21. Какова функция несклонности к риску при Непосредственно исходя из определения (4.27), получаем

В примере 4.18 мы использовали эту функцию полезности и нашли надбавку за риск к лотерее, дающей выигрыши с вероятностями, равными 1/3. Поскольку положительна, мы ожидаем, что надбавка за риск будет положительна.

Пример 4.22. Предположим, что и нас интересует функция несклонности к риску. По определению,

Заметим, что она отрицательна. В примере 4.19 мы использовали ту же самую функцию полезности и нашли, что надбавка за риск к равна —2,17 и также отрицательна.

Этот пример указывает на один важный результат.

Теорема 4.26. Если отрицательна при всех х, то выпукла и принимающий решение склонен к риску.

В § 4.3 мы обсуждали возможности такого преобразования критериев, чтобы функция полезности для нового критерия была возрастающей, если для исходного критерия она была убывающей. Разберем влияние такого преобразования на функцию несклонности к риску. Предположим, что У — такой критерий и -где Заметим, что -убывающая функция, а функция несклонности к риску Определим для всех у, где у — некоторое фиксированное значение У. Обозначим через полезность х и определим ее так:

Так как положительная константа, то

Естественно, эта функция является возрастающей, а функция несклонности к риску равна Вывод состоит в том, что проведенное преобразование

убывающей функции полезности в возрастающую не повлияло на отношение лица, принимающего решение, к риску.

Попытаемся обобщить этот вывод.

Теорема 4.27. Если для замены убывающей функции полезности на возрастающую функцию полезности применено преобразование то функции несклонности к риску связанные соответственно с должны быть такими, чтобы или, что эквивалентно,

Иными словами, функция несклонности к риску, связанная с определенными выигрышами х или не меняется в результате такого преобразования.

Доказательство. По определению, , где нижний индекс обозначает дифференцирование по у. Соответствующей функцией полезности для х служит Беря производную от по х, получаем

Подставляя это в имеем

Таким образом, Заменяя переменные, получаем

4.8.3. Возрастающая, постоянная и убывающая несклонность к риску. Самым важным понятием, связанным с убывающими функциями полезности, является, по-видимому, понятие возрастающей несклонности к риску. Определим формально это понятие и покажем его важность. При убывающих функциях полезности у индивидуума возрастающая несклонность к риску, если: а) он не склонен к риску и б) надбавка за риск к любой лотерее х для него возрастает при возрастании опорной величины х. Заметим, что определение «возрастающей несклонности риска» формулируется в тех же терминах, что и в случае определения этого понятия при монотонно возрастающих функциях полезности. Однако, поскольку в этих двух случаях надбавка за риск определена по-разному, определения возрастающей несклонности к риску оказываются различными.

Если у принимающего решение возрастающая несклонность к риску, то из этого следует, что надбавка за риск, которую он заплатил бы, чтобы избежать участия в лотерее увеличивается при увеличении х. Это может представляться разумным, если X характеризует, например, издержки. Для малых X принимающий решение мог бы позволить себе принять участие в лотерее, но с увеличением х он, возможно, будет вынужден отказаться от участия в той же лотерее, поскольку потенциально возможные высокие убытки могут привести к серьезным финансовым затруднениям.

Эти соображения приложимы и к задачам принятия решений, связанным с пожарной службой, когда X представляет период реагирования при вызове к месту пожара. Руководитель может предпочесть лотерею периоду реагирования, равному 2,2 мин, но предпочесть также 4,2 мин лотерее Другими словами, он не захотел бы заплатить надбавку за риск, равную 0,2 мин, чтобы избежать но заплатил бы эту надбавку, чтобы избежать Следовательно, руководитель, имея дело с большими периодами реагирования, предпочитает поступать более консервативно, поэтому его функция полезности должна отражать возрастающую несклонность к риску.

Другое соображение состоит в следующем. Предположим, что функция полезности руководителя — убывающая по X и у него возрастающая несклонность к риску. Тогда, если мы перейдем к критерию У, значения которого есть то функция полезности по должна быть возрастающей и отражать убывающую несклонность к риску. То есть понятие возрастающей несклонности

к риску для убывающих функций полезности соответствует понятию убывающей несклонности к нему для возрастающих функций полезности.

Теорема 4.28. Если убывающая функция полезности отражает возрастающую несклонность к риску и если у—х—х, то функция полезности возрастающая и отражает убывающую несклонность к риску.

Доказательство. Если функция несклонности к риску для -функция несклонности к риску для то результат получается непосредственно из теоремы 4.27.

Таким образом, интуитивные соображения, приведенные для убывающей несклонности к риску при возрастающих функциях полезности, остаются в силе и для рассматриваемого случая.

Все важные результаты § 4.6 аналогичны при убывающих функциях полезности. Примером является следующая теорема.

Теорема 4.29. Функция несклонности к риску для функции полезности является возрастающей (постоянной, убывающей) тогда и только тогда, когда надбавка за риск является возрастающей (постоянной, убывающей) функцией от х для всех х.

Приведем несколько простых примеров функций полезности, отражающих возрастающую несклонность к риску.

Пример 4.23. Предположим, что -есж, Ясно, что сесх и так что несклонность к риску Конечно, -убывающая и отражает несклонность к риску, однако постоянная, т. е. невозрастающая функция.

Этот пример приводит к некоторым определениям и обобщениям. Принимающий решение постоянно не склонен к риску, если положительная константа, постоянно безразличен к риску, если нуль, и постоянно склонен к риску, если отрицательная константа. Как и в случае возрастающих функций полезности, эти условия налагают довольно строгие ограничения на форму функции полезности.

Теорема 4.30.

Убедившись в справедливости предположений, приводящих к таким функциям полезности, нужно лишь определить детерминированный эквивалент одной простой лотереи, чтобы построить всю функцию.

Пример 4.24. Рассмотрим квадратичную функцию полезности вида

где Последнее условие нужно потому, что и является убывающей только на этом интервале.

Нетрудно убедиться, что

откуда видно, что положительна, но убывает с ростом х.

В примере 4.24 и отражает убывающую несклонность к риску. Для того чтобы точнее определить это понятие, будем говорить, что у человека убывающая несклонность к риску, если: а) он не склонен к риску и б) надбавка за риск к любой лотерее х для него убывает по х. Такое поведение, согласно определению, является противоположным к возрастающей несклонности к риску.

Пример 4.25. Предположим, что Тогда так что Ясно, что при функция является положительной и возрастающей по х. Отсюда следует, что отражает возрастающую несклонность к риску при

Пример 4.26. Пусть где Если то эта функция, как было показано, характеризует

постоянную несклонность к риску. Если то и так что

В этом случае функция несклонности к риску всегда положительна и возрастает по х. Поэтому, если то свидетельствует о возрастающей несклонности к риску. Принимая, без потери общности, что получаем, что функция несклонности к риску немного больше, чем а, при больших по абсолютной величине отрицательных значениях х, увеличивается до и приближается к с, когда х становится положительным и большим.

В этом примере мы проиллюстрировали общий результат, аналогичный полученному выше результату для возрастающих функций полезности.

Теорема 4.31. Функция полезности, представляющая собой взвешенную сумму двух или более функций полезности, которые отражают возрастающую или постоянную несклонность к риску на интервале характеризуется возрастающей несклонностью к риску на исключая те подынтервалы, где суммируемые с весами функции отражают одинаковую и постоянную несклонность к риску. На этих подынтервалах она характеризуется постоянной несклонностью к риску.

Заметим, что если в примере 4.26 мы положим -еах и , то будет взвешенной суммой: Каждая из функций отражает постоянную несклонность к риску. Если соответствующие им функции несклонности к риску не равны друг другу, т. е. если то и должна отражать возрастающую несклонность к риску, а если эти функции оказываются равными, то ясно, что и должна характеризоваться постоянной несклонностью к риску. Как и для возрастающих функций полезности, мы могли бы выделить среди монотонно убывающих функций полезности, отражающих склонность к риску, такие, которые отражают возрастающую, постоянную и убывающую склонность к риску. Для убывающих функций полезности мы могли бы рассмотреть и пропорциональную склонность к риску. Однако нам в настоящее время представляется, что это дало бы слишком мало (или вовсе не дало бы ничего) для существа дела, и поэтому мы не будем этим заниматься.

4.8.4. Немонотонные функции полезности. Наши определения несклонности и склонности к риску остаются для немонотонных предпочтений такими же, какими они были в монотонных случаях. Именно, мы не склонны к риску, если предпочитаем ожидаемый выигрыш во всякой невырожденной лотерее самой лотерее; мы склонны к риску, если предпочитаем любую невырожденную лотерею ее ожидаемому выигрышу.

Теорема 4.32. При немонотонных предпочтениях принимающий решение не склонен к риску (склонен к риску) тогда и только тогда, когда его функция полезности вогнута (выпукла).

Примеры немонотонных функций полезности, отражающих склонность и несклонность к риску, приведены на рис. 4.18.

Как было показано ранее в § 4.3, детерминированный эквивалент для немонотонных функций полезности не обязательно единственен. Поэтому не существует других определений несклонности и склонности к риску, основанных на детерминированном эквиваленте, как это было для монотонных функций полезности. Таким образом, определять надбавку за риск для немонотонных функций полезности нецелесообразно. Более того, для немонотонных функций полезности первая производная от обращается в нуль по крайней мере при одном значении х. Следовательно, для таких значений х мера несклонности к

Рис. 4.18. Отношение к риску при немонотонных функциях полезности

риску, подобная в монотонном случае, не была бы определена. По-видимому, для этого случая можно дать другое определение локальной несклонности к риску, но кажется, что оно будет представлять лишь теоретический интерес. Для реальных задач разумный подход мог бы состоять в том, чтобы разделить область значений критерия на интервалы таким образом, чтобы предпочтения на каждом интервале были монотонными, и затем исследовать каждый интервал отдельно» используя теорию, подходящую для соответствующих случаев.