6.4. ПОЛИЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ

Полилинейная функция полезности в случае факторов является обобщением функции полезности, установленной в результате 3 § 6.2, для трех факторов. Она также является обобщением как аддитивной, так и мультипликативной функций полезности. Это может быть сформулировано в виде следующей теоремы.

Теорема 6.3. Пусть дано множество факторов где Если не зависит по полезности от то

где

1. Функция и нормализована условиями .

2. является условной функцией полезности для нормализованной условиями .

3. Шкалирующие константы могут быть найдены помощью выражений

Доказательство. Согласно допущению о независимости по полезности, из выражения (6.6) следует, что

где функция и шкалирована от 0 до 1. Определим функцию таким образом, чтобы она была функцией полезности для фактора шкалированной от 0 до 1. Далее, заметив, что при некоторой положительной константе можно определять и переписать выражение (6.24) в виде

Для вычисления значений в выражении (6.25) положим равными их наиболее желательным значениям. Отсюда получим

и, поскольку

Подставив значение из выражения (6.26) в выражение и проведя перегруппировку, найдем

Доказательство становится далее простым по смыслу, но алгебраически громоздким. Будем последовательно подставлять значения выражения (6.27) для в само себя и при помощи перегруппировки получим нужный результат. Приведем здесь лишь первый шаг, на котором выражение (6.27) при подставляется в выражение (6.27) при

Повторяя эту процедуру, получаем искомый результат — выражения (6.22) и (6.23).

Сравнивая результаты теорем 6.1 и 6.3, можно увидеть, что выражение (6.22) является обобщением мультипликативной и аддитивной функций полезности. В случае полилинейной функции (полезности (6.22) существуют шкалирующих констант, но, поскольку сумма всех этих констант должна быть равна 1, и поэтому среди этих шкалирующих констант лишь будут независимыми. Используя выражение (6.23), шкалирующие константы можно вычислить, зная полезности в «угловых» точках области возможных последствий в