5.3. АДДИТИВНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ И АДДИТИВНАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ

Аддитивной будем называть такую функцию полезности, которая представима в следующем виде:

где положительные шкалирующие константы. Эта функция позволяет суммировать вклады каждого из двух факторов с точки зрения получения общей полезности. Она является, пожалуй, наиболее известной из многомерных функций полезности и имеет большое значение как из-за возможности ее использования во многих практических задачах, так и из-за своей простоты.

Нетрудно убедиться, что, как отмечалось в предыдущем параграфе, из аддитивности функции полезности следует взаимная независимость факторов по полезности. Однако обратное утверждение неверно, т. е. из взаимной независимости факторов по

полезности не следует аддитивность функции полезности. Допущения, которыми надо дополнить взаимную независимость по полезности, чтобы обеспечить аддитивность функции полезности для двух факторов, будут рассмотрены в § 5.4. В данном параграфе обсуждается другой набор допущений о предпочтениях лица, принимающего решение, который также приводит к аддитивности функции полезности. Необходимые и достаточные условия существования аддитивной функции полезности могут быть сформулированы при помощи понятия аддитивной независимости. К сожалению, эта терминология не является общепринятой и то условие, которое мы называем «аддитивной независимостью», в других работах иногда называют просто «независимостью». Однако прилагательное «аддитивный» необходимо, потому что оно позволяет выделить это условие независимости из других, введенных ранее.

Определение. Факторы называются аддитивно независимыми, если отношение предпочтения для любых двух лотерей (при их попарном сравнении), каждая из которых характеризуется своим совместным распределением вероятностей на зависит только от маргинальных распределений вероятности, присущих этим лотереям.

Приведенная выше формулировка определения наиболее удобна для последующих обобщений. В двумерном пространстве, как будет скоро показано, условие, накладываемое на и эквивалентное аддитивной независимости, состоит в следующем: лотереи

должны быть одинаково предпочтительны (т. е. равноценны) для всех при заданных, но произвольно выбранных у и 2. Отметим, что в каждой из этих двух лотерей вероятности получения у или у, 2 или равны 1/2. Единственное различие между этими лотереями состоит лишь в том, как скомбинированы в их исходах значения факторов . Отсюда становится ясно, насколько бессмысленно говорить, что У аддитивно не зависит от но Z не является аддитивно независимым от У. В отличие от других условий независимости, которые еще будут обсуждаться, данное условие рефлексивно.

5.3.1. Основной результат аддитивной теории полезности. Описываемый ниже результат впервые был получек Фишберном (1965а), однако изложен он будет немного иначе.

Теорема 5.1. Факторы являются аддитивно независимыми тогда и только тогда, когда функция полезности для этих факторов аддитивна. Аддитивная форма имеет вид

или

где

1. нормализуется условиями для таких произвольных значений что .

2. — условная функция полезности на которая нормализуется равенствами .

3. — условная функция полезности на которая нормализуется равенствами .

Доказательство. Очевидно, что аддитивная независимость предполагает равноценность лотерей поскольку они имеют одни и те же маргинальные распределения вероятностей для всех возможных значений факторов. Приравнивая ожидаемые полезности этих двух лотерей, получаем

Если произвольно положить то выражение (5.9) непосредственно следует из выражения (5.11). Определив

мы сохраним свободу в шкалировании (выборе шкал) функций полезности по каждому аргументу. Подстановка (5.12) и (5.13) в (5.11) приводит в результате к (5.10).

Докажем теорему в обратную сторону, т. е. что аддитивность функции полезности предполагает аддитивную независимость. Следует отметить, что ожидаемая полезность зависит только от маргинальных распределений вероятностей на соответственно. Поэтому предпочтения между лотереями не могут зависеть от совместного распределения вероятностей на , т. е. эти факторы аддитивно независимы.

Условия существования аддитивной функции полезности являются достаточно жесткими. Они исключают возможность изменения предпочтений лица, принимающего решение, в отношении значений одного фактора при различных значениях другого. Во

многих случаях имеет место зависимость предпочтительности различных значений одного фактора от различных значений другого. Например, рассмотрим предпочтения фермера относительно желаемого числа солнечных и дождливых дней. Эти предпочтения обусловлены влиянием погодных условий на урожай. В такой ситуации следует ожидать, что предпочтения фермера относительно числа солнечных дней будут различными в зависимости от выпавшего ранее количества осадков. Такая взаимозависимость предпочтений не может быть выражена аддитивной функцией полезности. В следующих параграфах будут предложены некоторые более общие виды функции полезности для двух факторов, которые допускают определенные типы их взаимодействия.

В § 5.8 будет проведено обсуждение процедур и приемов, при помощи которых может быть, во-первых, проверено допущение об аддитивной независимости, во-вторых, построены соответствующие функции полезности для отдельных факторов и найдены значения шкалирующих констант.