ГЛАВА 5. ПРЕДПОЧТЕНИЯ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ: ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ

В этой и следующей главах выдвинутые выше идеи, и полученные результаты используются для конкретного построения многомерных функций полезности. Основными результатами являются

теоремы представления, которые позволяют установить вид функции полезности при определенных предположениях относительно системы предпочтений лица, принимающего решение. Предлагаются довольно естественные допущения о системе предпочтений; описываются характерные ситуации, в которых эти допущения представляются разумными. Наконец, приводятся примеры построения функции полезности.

Многие важные положения теории принятия решений применительно к многокритериальным проблемам могут быть проиллюстрированы на примерах с двумя критериями (двумерный случай). В связи с этим, чтобы избежать излишнего усложнения и ненужных деталей, в гл. 5 мы подробно останавливаемся только на этом случае. Случай трех и более критериев рассматривается в гл. 6. Однако содержание § 5.1 непосредственно относится к обоим случаям.

5.1. НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ МНОГОМЕРНЫХ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ

Предположим, что в соответствии с имеющейся проблемой установлена иерархия целей и сформирован набор факторов (критериев) Пусть обозначает определенное значение (уровень) фактора тогда наша задача состоит в том, чтобы построить конкретную функцию полезности зависящую от переменных.

Основное свойство, характеризующее функцию полезности и, состоит в следующем: если даны два распределения вероятностей на множестве многомерных последствий х, то вероятностное распределение А по крайней мере не хуже, чем В, в том и только в том случае, когда

где обозначают обычные операторы математического ожидания, примененные к распределениям соответственно.

Именно это свойство показывает, что ожидаемая полезность является удобным показателем при выборе среди альтернатив.

В вырожденном случае выражение (5.1) позволяет сделать заключение о том, что альтернатива по крайней мере не хуже, чем альтернатива тогда и только тогда, когда

В дальнейшем мы будем различать два случая в зависимости от того, задана или не задана функция ценности факторов. Функция ценности может быть использована при нахождении функции полезности.

5.1.1. Использование функции ценности при построении функции полезности. Возвращаясь к гл. 3, напомним, что функция ценности устанавливает ранжирование возможных последствий, (Описываемых с помощью факторов. Эта функция удовлетворяет выражению (5.2), относящемуся к вырожденному случаю функции полезности. Поэтому согласно определению функция полезности является функцией ценности, но функция ценности не обязательно является функцией полезности.

В гл. 3 было приведено несколько методов, которые могут быть использованы для получения функции ценности Функция каждому последствию х ставит в соответствие некоторую скалярную величину — его «ценность», поэтому мы можем рассматривать V как скалярный показатель «ценности», который принимает значения Кроме того, поскольку тогда и только тогда, когда лицо, принимающее решение, находит более предпочтительным, чем то функция полезности должна быть монотонно возрастающей функцией от . В связи с этим, все подходы к оценке функции (полезности в случае одного фактора, обсуждавшиеся в гл. 4, могут быть использованы и при оценке

Однако, несмотря на внешнее сходство, эти проблемы в действительности не могут быть признаны идентичными, так как различные уровни (т. е. значения) показателя «ценности» V сами по себе не имеют физической интерпретации для лица, принимающего решение. Процедуры, рассматриваемые в гл. 4, полезны для оценки но при осуществлении подобной оценки мы обычно должны привлекать интерпретацию исходных факторов Возможно это станет понятнее при рассмотрении следующего простого примера.

Пример 5.1. Рассмотрим рис. 5.1 и предположим, что функция ценности задана на пространстве факторов при Для простоты будем считать, что функция является непрерывной и возрастающей по обоим аргументам. Предположим также, что для любого последствия существует равноценное последствие вида где или вида где Местоположения всех компонент последствий указаны на рисунке жирными линиями. Таким образом, если бы мы имели функцию полезности, заданную для всех точек вида или то было бы легко распространить функцию и «а все точки области определения. Если равно тогда, очевидно, что должно быть принято равным а последнее значение уже известно.

Рис. 5.1. Установление полезности последствий для случая, когда функция ценности известна

Проблема здесь сводится к нахождению значений и на области, отмеченной на рис. 5.1 жирными линиями, но эта задача значительно проще, чем нахождение значений и на всем множестве К тому же процедуры, изложенные в гл. 4, могут быть непосредственно применены при построении двух (условных) функций полезности одного аргумента: от от Единственная дополнительная трудность состоит в том, что для Ы] и должны быть выбраны согласованные шкалы измерения. Только в этом случае порождаемая ими функция и будет обладать необходимыми свойствами. Процедура, такого шкалирования обсуждается в § 5.8.

Нетрудно провести обобщение и на случай более двух факторов. В этом случае мы оцениваем несколько (условных) функций полезности от отдельных факторов и для того, чтобы сформировать единую функцию полезности и на подпространстве из согласовываем шкалы этих функций. Затем для каждой точки в которой значение функции и пока не известно, мы находим такую точку для которой уже установлено значение функции и и при этом В результате устанавливаем значение функции и в этой точке —

5.1.2. Непосредственная («прямая») оценка. Теперь рассмотрим случай, когда функция ценности на X не задана. Когда количество возможных последствий невелико, полезность каждого из них иногда может быть оценена непосредственно.

Зададим значения полезности для некоторых двух последствий, а значения полезности для остальных последствий установим в соответствии с ними (или другими последствиями, значения полезности для которых уже известны). Например, если мы выяснили, что является наименее предпочтительным, наиболее предпочтительным последствием из тогда можно произвольно задать

Для каждого эмпирически оценим вероятность такую, что будет равноценно лотерее, в которой реализуется исход х с вероятностью и исход с вероятностью Приравнивая ожидаемые полезности, получаем

Этот подход может быть использован, когда имеется примерно до 50 последствий. Хотя уже и при таком количестве последствий сама процедура оказывается очень трудоемкой, а получение численных результатов, внушающих доверие, вызывает необходимость организации большого числа дополнительных последовательных проверок. Заметим, что основная идея этого подхода аналогична той, которая использовалась в гл. 4 для непосредственной (прямой) оценки полезности последствий. Единственное различие состоит в предметах оценки которые теперь являются векторами, а не скалярами, как раньше.

В ситуациях, когда количество возможных последствий в X велико, рассматриваемый подход также может быть использован для оценки полезности небольшой части последствий. Полезность остальных последствий может быть определена затем при помощи процедур, основанных на кривых соответствия, интерполяции, экстраполяции и др. Однако такие процедуры имеют следующие три основных недостатка, которые проявляются три их использовании на практике и становятся особенно существенными при континуальном множестве исходов: 1) они не в состоянии учесть основную структуру предпочтений лица, принимающего решение; 2) получение необходимой информации для осуществления количественных оценок сопряжено с большими трудностями; 3) получаемые результаты неудобны для вычислений ожидаемой полезности и проведения анализа чувствительности. Попытки устранить эти недостатки нашли свое отражение в подходах, представленных в следующем пункте.

5.1.3. Качественная структуризация предпочтений. Основной подход, используемый в этой и следующей главах, состоит: в 1) установлении различного рода допущений о системе основных предпочтений лица, принимающего решение; 2) нахождении таких функциональных видов функции полезности в случае многих факторов, которые удовлетворяют этим допущениям. Тогда при практическом использовании такого подхода в каждой задаче

необходимо проверить справедливость некоторых допущений и затем построить функцию полезности, соответствующую им. Этот подход разработан для преодоления недостатков значительно более прямолинейного метода, описанного в предыдущем пункте. При определении функции полезности учитывается система основных предпочтений лица, принимающего решение, что упрощает сам процесс построения. Отметим, что этот подход абсолютно идентичен тому, который использовался в гл. 3 при построении функций ценности, а также в гл. 4 для построения одномерных функций полезности.

Исследуемые допущения представляются справедливыми во многих задачах принятия решений и очень важными в практическом отношении. Проверка и учет определенных свойств независимости, которые могут быть (присущи системе предпочтений лица, принимающего решение, и относиться к различным подмножествам факторов, являются чрезвычайно важными при установлении достаточно простых форм представления индивидуальных предпочтений. В идеальном случае было бы желательно шолучить представление функции полезности в следующем виде:

где является функцией только одного фактора имеет простую форму, например аддитивную или мультипликативную. Такое представление позволяет значительно упростить процедуру оценки функции полезности и. Плодотворность этого подхода как в теоретическом, так и прикладном плане иллюстрируется в данной и последующих главах.

5.1.4. Краткое содержание главы. В гл. 5 исследуются функции полезности, зависящие от двух факторов. Сначала рассматриваются основные понятия невависимости и использование их в теории. Затем предлагается процедура построения соответствующих функций полезности. В конце подробно описывается процесс построения функции полезности в конкретном содержательном примере.

Произвольную точку в двумерном пространстве для удобства мы будем обозначать вместо более громоздкой записи Функция полезности для двух факторов, обозначенная таким образом, может «а самом деле зависеть более чем от двух аргументов. Например, если У является двумерным (векторным) фактором, трехмерным (векторным) фактором, тогда и может интерпретироваться как иятимерная функция полезности. Все результаты этой главы справедливы для любых функций полезности от двух факторов, независимо от размерности каждого аргумента. Однако для удобства мы часто будем обращаться с как с одномерными скалярными факторами.