4.3. ОДНОМЕРНЫЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ

Введем некоторые качественные характеристики функций полезности. Каждая такая характеристика отражает определенную особенность предпочтений лица, принимающего решение, относительно возможных исходов и лотерей. Выразив эти особенности математически, можно будет аналитически описать ограничения «а функцию полезности, которые вытекают из наличия этих особенностей. Если принимающий решение согласен с указанными особенностями, его функция полезности будет заключена в довольно узких границах, что облегчает фактическое построение этой функции. Кроме того, это позволяет провести анализ чувствительности и изменчивости.

4.3.1. Монотонность. Часто разумной и оправданной характеристикой является монотонность. Если исходы характеризуются в деньгах, то (большинство (если не все) лиц, принимающих решения, предпочитают большую сумму меньшей. В этом случае, когда и представляет собой функцию полезности для денежных оценок X, в силу своего построения функция (полезности должна удовлетворять условию

Теперь рассмотрим предпочтения для периода реалирования службы скорой помощи. Представляется вполне разумным принять, что меньший период реагирования всегда предпочтительнее большего. В этом случае, если конкретный период реагирования, а и — функция полезности, то

Поэтому мы говорим, что функция полезности периода реагирования является монотонно убывающей.

Мы можем легко перейти от убывающей к возрастающей функции полезности, изменив критерий. Предположим, что вместо того, чтобы оценивать службу скорой помощи через период (реагирования, мы определили «нормативную продолжительность периода реагирования», равную 15 мин, и для оценки службы используем критерий «время реагирования, сэкономленное по сравнению с

нормативным». Если мы для всякого вызова службы обозначим через у это сэкономленное время по сравнению с нормативным и определим его равенством где определенный ранее период реагирования, то предпочтения, очевидно, будут возрастающими по у, и поэтому функция полезности для нашего нового критерия также будет возрастающей. Это верно во всех случаях, даже если «сэкономленное время» отрицательно (т. е. период реагирования больше 15 мин).

Ясно, что мы можем легко перейти от возрастающей к убывающей функции полезности, поменяв знак меры эффективности. По-видимому, самый понятный пример такого перехода — деловые операции, оцениваемые либо доходами, либо убытками. Безошибочно можно принять, что предпочтения являются возрастающими по мере роста доходов и убывающими по мере роста убытков.

Рис. 4.3. Немонотонная функция полезности

Приведем пример ситуации, в которой функция полезности не является монотонной. В медицинской практике встречаются задачи, связанные с ненормальным содержанием сахара в крови пациента. У лечащего врача для решения такой задачи обычно имеется много различных методов. Мерой эффективности здесь может служить процентное содержание сахара в крови.

Существует некоторое «нормальное» процентное содержание сахара, которого и желательно добиться. Если содержание ниже нормы, то чем меньше процент сахара в крови, тем положение хуже. Если содержание выше нормы, то больший процент сахара менее предпочтителен, чем меньший. В этом случае предпочтения являются монотонно возрастающими до нормального уровня и монотонно убывающими после него. Функция полезности подобного рода изображена на рис. 4.3.

4.3.2. Детерминированный эквивалент и стратегическая эквивалентность. Понятие детерминированного эквивалента является одним из основных в теории полезности. Оно вводится здесь, так как будет часто использоваться в следующих параграфах при рассмотрении различных характеристик риска, и их связи с функциями полезности.

Пусть лотерея, приводящая к выигрышам (исходам) с вероятностями соответственно. Обозначим неопределенный выигрыш (т. е. случайную переменную), даваемый лотереей, через х, а ожидаемый выигрыш (математическое ожидание выигрыша) через х:

Ожидаемая полезность этой лотереи равна

и является показателем, который при выборе лотерей следует максимизировать.

Определение. Детерминированным эквивалентом лотереи называется величина Я, такая, что принимающий решение безразличен в выборе между участием в лотерее и получением х наверняка. Следовательно, х определяется равенством

Заметим, что для монотонной функции полезности детерминированный эквивалент любой лотереи определяется единственным образом.

Когда рассматриваемым критерием является денежная оценка получаемого результата, то детерминированный эквивалент лотереи называется детерминированным денежным эквивалентом. Если X — период реагирования, то детерминированные эквиваленты удобнее называть детерминированными временными эквивалентами. Однако поскольку из контекста всегда будет ясно, о чем речь мы будем пользоваться термином «детерминированный эквивалент» без дальнейших уточнений.

Исторически многие исследования по теории одномерной полезности, а поэтому и детерминированные эквиваленты, были связаны с полезностью денег. В связи с этим в литературе часто встречаются термины денежный эквивалент и продажная цена лотереи. Оба термина обозначают детерминированный эквивалент лотереи с денежными выигрышами.

Нужно сделать следующее замечание, хотя оно, возможно, покажется очевидным. Ожидаемый выигрыш и детерминированный эквивалент, определенные формулами (4.5) и (4.7) соответственно, относились к лотерее с конечным числом возможных выигрышей. Если возможные выигрыши лотереи описываются плотностью распределения то ясно, что ожидаемый выигрыш х этой лотереи равен

а детерминированный эквивалент X является решением уравнения

Прежде чем переходить к примерам, следует ввести понятие стр атегической зквивалентности.

Определение. Две функции полезности стратегически эквивалентны (это записывается так: тогда и только тогда, когда одинаково упорядочивают по предпочтительности любые две лотереи.

Из этого определения, конечно, следует, что если то детерминированные эквиваленты для любой лотереи, определенные функциями одинаковы. Символически это записывается следующим образом:

Легко показать, что если для некоторых констант справедливо

то

Теперь мы сформулируем обратное утверждение.

Теорема 4.1. Если то существуют две такие постоянные что

Доказательство. Пусть произвольное значение из и пусть так что

Полагая в (4.9) и разрешая равенство относительно я, получаем

Подставляя это значение в (4.9) для приходим к нужному результату.

Стратегически эквивалентные функции полезности имеют одинаковый смысл с точки зрения сравнительной оценки действий. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.1. Пусть Предположим, что принимающий решение имеет дело с лотереей, описываемой плотностью распределения выигрышей Тогда ожидаемый выигрыш равен

и детерминированный эквивалент к находится из уравнения

Так как то отсюда следует, что Этот пример показывает, что если функция полезности линейна, то детерминированный эквивалент любой лотереи равен ожидаемому выигрышу этой лотереи.

Пример 4.2. Пусть где и предположим, что принимающий решение имеет дело с лотереей 50—50 (т. е. приводящей с рааными вероятностями либо к либо к

обозначаемой как Ожидаемый выигрыш х равен Детерминированный эквивалент находится из решения уравнения

или равносильного уравнения

Предположим теперь, что лотерея описывается плотностью равномерного распределения

Ясно, что ожидаемый выигрыш равен а детерминированный эквивалент определяется из уравнения

или

Выполнив расчеты для нескольких вариантов, получим табл. 4.2.

Из табл. 4.1 и 4.2 ;видно, что если выигрыши лотереи увеличить на определенную сумму, то и детерминированный эквивалент увеличится на ту же самую сумму. Это является важным свойством экспоненциальной функции полезности.

Теорема 4.2. Если их — детерминированный эквивалент для лотереи х, то является детерминированным эквивалентом для лотереи

Таблица 4.1. Детерминированные эквиваленты для лотерей при

Таблица 4.2. Детерминированные эквиваленты для лотерей с равно мерным распределением выигрышей при

Доказательство. Детерминированный эквивалент для второй лотереи является решением уравнения

Но, по определению,

так что

откуда следует, что

Пример 4.3. Пусть Ожидаемый выигрыш для лотереи как и раньше, равен Детерминированный эквивалент, определяемый из уравнения

равен

Для нескольких вариантов он указан в табл. 4.3.

Из табл. 4.3 можно увидеть, что для каждой лотереи детерминированный эквивалент всегда меньше, чем ожидаемый выигрыш. Однако для любого значения эта разность становится меньше при увеличении выигрышей на заданную сумму.

Таблица 4.3. Детерминированные эквиваленты для лотерей при

Рис. 4.4. Детерминированные эквиваленты, используемые для немонотонной функции (полезности

Позднее в этой главе мы много внимания уделим функциям полезности, для которых детерминированные эквиваленты ведут себя таким образом.

Пример 4.4. Все три первых примера были связаны с монотонно возрастающими функциями полезности. Рассмотрим убывающую функцию полезности и рассчитаем ожидаемые выигрыши и детерминированные эквиваленты для

и Ясно, что ожидаемые выигрыши равны 5 и 15 соответственно. Детерминированный эквивалент для является решением уравнения

Следовательно, Аналогично находим, что детерминированный эквивалент для равен 15,8. Это означает, что принимающему решение безразлично, получить ли наверняка или участвовать в лотерее получить ли наверняка или участвовать в лотерее

Вычисление детерминированных эквивалентов было проиллюстрировано на примерах для некоторых типичных лотерей. Однако во всех этих примерах рассматривались только монотонные функции полезности. А как обстоит дело в немонотонном случае? В этой ситуации детерминированный эквивалент может быть неединственным. Обратимся к рис. 4.4 и рассмотрим лотерею 50—50 с выигрышами Детерминированным эквивалентом является всякий исход, полезность которого равна ожидаемой полезности лотереи Как видно из рис. 4.4, и х являются детерминированными эквивалентами для но фактически один из них даже не попадает в диапазон между двумя возможными выигрышами лотереи.