4.10. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРОЦЕССА ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОМЕРНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ

Цель этого параграфа — показать на примерах, как строятся функции одномерной полезности. Он ни в коем случае не является перечнем выполненных работ, связанных с этой задачей. Для иллюстрации современного состояния дел мы просто выделили более поздние работы, не останавливаясь на ранних

исследованиях, которые помогли проложить путь к нашему современному состоянию. Однако мы кратко упомянем о двух из этих начальных достижений.

Одна из первых попыток построения функций полезности была предпринята Мостеллером и Ноджи (1951). В лабораторных условиях человеку предлагали участвовать в денежной лотерее <Ж дающей выигрыш центов с вероятностью и проигрыш центов с вероятностью В течение эксперимента несколько раз предлагалась одна и та же лотерея и подсчитывалось, сколько раз человек соглашался в ней участвовать. Изменяя при фиксированных при помощи этой процедуры была найдена такая величина что доля случаев согласия участвовать в лотерее составила половину. После этого нуль (отказ от участия в лотерее) был взят в качестве детерминированного эквивалента для так что

где и — функция полезности испытуемого человека. Исследователи произвольно приняли и использовали (4.44) для вычисления относительной предпочтительности Путем повторения вышеуказанной Процедуры для различных значений были установлены полезности для семи экспериментальных точек, через которые и была проведена функция полезности.

Другой важный вклад в построение функций полезности был сделан Дэвидсоном, Суппесом и Зигелем (1957), попытавшимися усовершенствовать только что описанную процедуру. Одно из основных положений их критики эксперимента Мостеллера и Ноджи состояло в том, что почти каждый выбор, предлагавшийся человеку, состоял в том, чтобы принять или отклонить лотерею. Таким образом, одна альтернатива несла в себе неопределенность и требовала участия в связанном с ней эксперименте, другая не заключала в себе никакой неопределенности и не предполагала проведения эксперимента. Если человек был настроен за или против азартной игры или участия в эксперименте, то эта процедура могла привести к искаженным результатам. Другое положение критики касалось того, что Мостеллер и Ноджи применяли объективные вероятности так, как если бы они были субъективными вероятностями, осознаваемыми человеком. Чтобы учесть эти обстоятельства Дэвидсон, Сапе и Зигель предлагали участникам выбор между лотереями, которые исключали искажения из-за различия в предпочтениях для азартных игр и участия в экспериментах, и опытным путем определяли субъективные вероятности для этих участников.

Цель обоих экспериментальных исследований — проверка приемлемости модели принятия решений по ожидаемой полезности для небольших денежных сумм. Их результаты показали, что функции полезности в лабораторных условиях построить можно, во всяком случае для небольших денежных сумм. Они указали также при этом, «как надо и как не надо делать» в процессе

построения функций полезности. Но они не показали, что содержательные функции полезности могут быть построены и для лиц, имеющих дело с реальными задачами принятия решений.

4.10.1. Предпочтения предпринимателей в области разведочных поисков нефти. Грейсон (1960) был одним из первых, кто построил функции полезности для реальных ситуаций. Он затратил много времени на выявление предпочтений относительно различных денежных сумм для большого числа предпринимателей, занятых разведочными поисками газа и нефти. Грейсон рассматривал вместе с «ими гипотетические рискованные предприятия по бурению, указывая требуемые капиталовложения, возможный выигрыш и вероятность успеха, и спрашивал, согласятся ли они участвовать в таких предприятиях или нет.

Например, владельцу компании задавался вопрос: согласился бы он вложить 20 000 дол. в рискованное предприятие с возможным общим выигрышем в 100000 дол., если вероятность успеха 0,47? Если ответ был положителен, то вероятность успеха понижалась до тех пор, пока опрашиваемый становился безразличным в выборе между принятием и отклонением предложения. Если предложение первоначально отклонялось, то вероятность успеха повышалась до получения вероятности, соответствующей безразличию.

Если вероятность, соответствующая безразличию, есть

Произвольно выбрав две точки функции полезности, третью можно вычислить, используя (4.45). Такая процедура повторялась для большого числа рискованных предприятий, и это позволило получить достаточно большое количество «исходных» точек для построения кривой предпочтений предпринимателя. Наконец, через эти точки была проведена кривая, визуально оцениваемая как «наиболее подходящая».

Прежде чем представить конкретный пример работы Грейсона сделаем по ней два замечания. Во-первых, не было сделано попыток использовать какие-либо общие характеристики функций полезности, вроде несклонности к риску (хотя, конечно, плодотворные исследования в этой области были осуществлены после работы Грейсона). Во-вторых, как указал Грейсон, он не обращал внимания на противоречия в предпочтениях предпринимателей и не пытался устранить .эти противоречия. Исключение составил лишь один случай, когда для одного из предпринимателей (Вильяма Берда) — такие противоречия были снижены до незначительного уровня.

Функция полезности Берда для различных денежных сумм по состоянию на 23 октября 1957 г. показана на рис. 4.25. Полученные Грейсоном эмпирические точки отмечены на рисунке кружками. Кофман (1963) позднее обнаружил, что «прекрасно подходящей» для этих данных является логарифмическая функция полезности

где х представляет изменение финансового положения Берда в долларах.

На рис. 4.25 очевидно, что и монотонно возрастает и отражает несклонность к риску. К тому же, найдя функцию несклонности к риску

видим, что и действительно отражает убывающую несклонность к риску. Если была бы возможность заранее установить, что

Берд согласен с такими характеристиками, то число экспериментально получаемых оценок, необходимых для тщательного построения его функции полезности, было бы значительно меньшим.

Рис. 4.25. Функция полезности Вильяма Берда для его возможного финансового положения

4.10.2. Предпочтения представителей деловых кругов. Другая большая работа по построению функции полезности была проведена Сволмом (1966). Он опросил примерно 100 человек из различных корпораций для того, чтобы экспериментально построить их «корпоративные» функции полезности для денежных величин. То есть его интересовали функции полезности, которые они использовали при принятии решений в интересах корпорации, а не личности. Цель работы состояла в том, чтобы описать, каким образом эти люди принимают решения (а не предписывать, как их нужно принимать).

Первый этап в каждом опросе заключался в ознакомлении принимающего решение с общими идеями теории полезности. Затем устанавливался его «горизонт планирования», определяемый как удвоенная максимальная сумма, которую он мог бы рекомендовать истратить в любой год. Функция полезности строилась для возможных исходов, отвечающих принятому горизонту планирования, поскольку считалось, что большие суммь! не были бы осмысленными для принимающего решение.

Вопросы, использовавшиеся для эмпирически отыскиваемых точек на кривой полезности, касались выбора между простыми лотереями 50—50 с двумя выигрышами и получением другого исхода наверняка. Получаемый наверняка исход затем изменялся в последующих вопросах таким образом, чтобы принимающий решение стал безразличным к выбору между детерминированным исходом и лотереей (т. е. для лотереи находился детерминированный эквивалент). Произвольно назначив значения полезности

выигрышей этой лотереи, легко определить (полезность детерминированного эквивалента. Затем этот детерминированный эквивалент применялся в новых лотереях для отыскания полезностей других исходов. Таким образом находилось достаточно точек на графике функции полезности, охватывающих как доходы, так и убытки. Наконец, через эти точки проводилась гладкая кривая. При постановке вопросов альтернативы, предложенные в распоряжение принимающего решение, формулировались в максимально реалистичной форме (насколько это было возможно). Вот пример, цитируемый из работы Сволма:

«Предположим, что против вашей компании возбуждено судебное дело за патентное нарушение. Мнение вашего юриста таково, что ваши шансы выиграть дело составляют 50 против 50. Если Вы выиграете, то ничего не потеряете, если проиграете, то это будет стоить компании дол. Ваш противник предложил Вам откупиться от суда за 200 000 дол. Будете ли Вы бороться или же постараетесь откупиться?».

Два вывода, полученные Сволмом, представляют особый интерес. Во-первых, он обнаружил, что в ситуациях, связанных с риском, максимизация ожидаемого дохода не является единственной целью бизнесменов и что введение числовых полезностей было «по крайней мере шагом в правильном направлении». Во-вторых, большинство младших администраторов при принятии корпоративных решений свои собственные интересы ставят выше интересов компании.

Шпетцлер (1968) выявлял предпочтения большого числа представителей деловых кругов из одной компании для того, чтобы построить корпоративную функцию полезности. Его цель заключалась в разработке корпоративной политики капиталовложений в условиях риска. Большая часть этой работы была связана с построением функций полезности 36 менеджеров этой фирмы, включая всех высших должностных лиц. С каждым человеком проводилась предварительная беседа для ознакомления с необходимостью и общей идеей выявления предпочтений и определения основных характеристик отношения к риску. Для этого лицам, принимающим решение, предоставлялась возможность сделать капиталовложение, приносящее долларов в случае удачи и долларов в случае неудачи. Указывалась также вероятность удачи Лицо, принимающее решение, выбирало, делать или не делать такое капиталовложение. Затем вероятность изменяли таким образом, чтобы найти вероятность безразличия при которой принимающему решение было безразлично, принять или отклонить предложение. В результате повторения такой процедуры для 20 различных возможностей капиталовложений, в каждой из которых было два уровня вкладов компании — 3 и 50 млн. дол. на одно капиталовложение, был получен ряд эмпирических точек на графике функции полезности. Эта процедура проводилась для каждого лица, принимающего решение.

Ответы показали Шпетцлеру, что ни одни из принимающих решение не был склонен к риску. Он предположил, что у них убивающая несклонность к риску. Затем, используя метод наименьших квадратов, он построил на основе эмпирических точек функцию полезности, отражающую такое отношение к риску,

Используя итоговую «наиболее подходящую» функцию полезности для каждого варианта капиталовложений, он далее рассчитал скорректированные вероятности безразличия и обсудил их с соответствующими лицами, принимающими решение. Многие из них высказали мнение, что эти скорректированные данные более адекватно отражают их предпочтения, чем их первоначальные ответы. Однако некоторые лица были иного мнения, и поэтому была введена более гибкая функция полезности

Эта функция обладала всеми первоначальными свойствами, связанными с отношением к риску, но имела излом в нулевой точке. Повторяя только что описанную процедуру и используя (4.49) для вычисления скорректированных вероятностей безразличия, Шпетцлер обнаружил, что некоторые из лиц, принимающих решения, остались все еще неудовлетворенными. Тогда, чтобы частично сгладить излом в нулевой точке, он добавил другой параметр, но сохранил свойство убывающей несклонности к риску. Заново пересмотренной функцией полезности была функция

где для всех возможных величин Скорректированные вероятности, отвечающие безразличию в выборе и вычисленные с помощью наиболее подходящей функции полезности вида (4.50), оказались приемлемыми для всех испытуемых. Более того, подумав, они во всех случаях предпочли эти скорректированные вероятности своим первоначально названным. Нетрудно показать, что при определенных значениях параметров функция и отражает убывающую несклонность к риску. Однако для некоторых лиц наиболее подходящая функция полезности не обладала таким свойством.

Используя качественные характеристики отношения к риску и количественные оценки, Шпетцлер сконструировал функции полезности, которые адекватно выражали предпочтения большого числа лиц, принимающих решения и сталкивающихся с реальными задачами о капиталовложениях. Из этой работы, в частности, очень хорошо видна значимость проверок согласованности, которые в рассматриваемом случае включали повторный опрос лиц, принимающих решение о скорректированных вероятностях, отвечающих ситуации безразличия в выборе.

4.10.3. Программы построения с помощью ЭВМ функций полезности для различных денежных сумм. Почти такой же подход применяется в Гарвардской коммерческой школе (Harvard Business School) с 1966 г. Для построения функций полезности разных видов, согласованных с различными входными данными как о количественных, так и о качественных характеристиках функции полезности, используются несколько программ для ЭВМ (см. работу Шлейфера (1971)). Здесь для иллюстрации мы кратко обсудим первую из них, которая определяет функцию полезности, характеризующуюся убывающей несклонностью к риску, вида

и согласованную с значениями детерминированных эквивалентов для трех лотерей 50—50. Если подходящей функции не существует, то этот факт указывается программой. Представляя на рассмотрение лицу, принимающему решение, три лотереи 50—50 с одинаковым «разбросом» выигрышей, легко проверить справедливость допущения об убывающей несклонности к риску.

Предположим, например, что мы строим функцию полезности лица, принимающего решение, при изменении его финансового положения да 1000—3000 дол. Мы начинаем с того, что просим его указать детерминированные эквиваленты для лотерей Если его детерминированный эквивалент для второй лотереи больше 500 дол., то мы узнаем, что он склонен к риску по крайней мере в этой области и поэтому у него нет убывающей несклонности к нему. Другое лицо, принимающее решение, рассматривая те же три лотереи, может указать в качестве своих детерминированных эквивалентов —550, 400 и 1850 дол. соответственно. Ясно, что это лицо не склонно к риску, поскольку надбавки за риск для него (ожидаемые денежные выигрыши минус детерминированные эквиваленты) положительны. Однако у него возрастающая несклонность к риску, поскольку надбавки за риск для него растут с ростом возможных выигрышей. В обоих этих случаях функция полезности вида (4.51) не подходит.

Предположим, что для третьего испытуемого детерминированными эквивалентами являются —650, 400 и 1950 дол. соответственно. У этого лица убывающая несклонность к риску. Используя (4.51) и приравнивая полезности детерминированных эквивалентов ожидаемым полезностям лотерей, мы получаем три уравнения с тремя неизвестными и с. ЭВМ отыскивает эти неизвестные и выдает полученную функцию полезности. Даже если три детерминированных эквивалента согласуются с убывающей несклонностью к риску, может не существовать функции полезности вида (4.51), которая точно соответствует этим данным и отражает этот характер отношения к риску для всех значений х. Например, если одновременно , то получаемая функция полезности отражает склонность к риску при х, больших некоторой величины. Если область действий лица, принимающего решение, включает

часть области склонности к риску, то мы должны либо постараться изменить вид функции полезности, либо повторить эту процедуру с другим набором лотерей.

4.10.4. Предпочтения относительно имеющегося в больнице запаса крови. Последний пример эмпирического построения функции полезности в области, совершенно отличной от описанных ранее, связан с управлением больничным запасом крови. Одной из важных мер эффективности, используемых для оценки стратегий создания больничного запаса крови для переливания, является дефицит крови. Здесь под дефицитной понимается кровь, которая затребована врачом, но не может быть назначена из больничного запаса. Одним из результатов большой работы, подробно обсуждаемой в § 5.10, явилось построение функции полезности для годового процентного дефицита крови, т. е. той доли (в процентах) всего количества крови, затребованной врачами, которую не смогли получить из больничного запаса в данной больнице. В ситуации такого дефицита можно сделать заказ на кровь специфического типа в центральном хранилище крови, можно пригласить профессиональных доноров, отложить операцию и т. д., и лишь в исключительно редких случаях дефицит крови (понимаемый так, как это было определено нами) может привести к смерти.

В роли человека, чьи предпочтения оценивались, выступала медицинская сестра, распоряжавшаяся запасом крови в Кэмбриджской больнице (Кэмбридж, Массачусетс).

Вначале было установлено, что в этой больнице дефицит никогда не превышал 10% затребованного количества. Тогда задача свелась к построению функции полезности для дефицита в интервале от 0 до 10%.

Было ясно, что предпочтения убывали с ростом процента дефицита, так что функция полезности должна была быть монотонно убывающей. Для лотереи 50—50 вида

приводящей к 0 или 10% дефицита, был найден детерминированный эквивалент, оказавшийся равным 6,5% дефицита. Далее было установлено, что детерминированные эквиваленты лотерей равны соответственно 4 и 8,5. На основании полученных ответов было естественно предположить, что лицо, принимающее решение, не было склонно к риску, и это было подтверждено дополнительными проверками согласованности.

Для простоты через полученные точки была проведена функция полезности, отражающая постоянную несклонность к риску. Из 4.26 видно, что функция полезности

почти точно проходит через экспериментально полученные точки.

4.10.5. Резюме. Первые попытки построения функций полезности были предприняты в лабораторных условиях. Эти эксперименты показали, что предпочтения можно описать количественно, и позволили накопить некоторый опыт проведения процедур построения функций полезности. Затем на его основе были построены функции полезности для лиц, принимающих решение о необходимых действиях в реальных условиях; эти функции строились путем проведения кривой через некоторое количество точек, для которых полезность определялась эмпирически. После появления в 1964 г. статьи Пратта о формальном отображении отношения к риоку в дополнение к количественной информации о детерминированных эквивалентах стали использовать и качественные характеристики функции полезности. Это привело к упрощению процедур построения функций полезности и позволило получать такие функции полезности, которые более точно отражали предпочтения лиц, принимающих решения. В гл. 6 и 7 даны дополнительные примеры, иллюстрирующие построение одномерных функций полезности, и показана возможность их применения в многокритериальных задачах.

Рис. 4.26. Функция полезности в случае дефицита крови