5.7. ЧТО ДЕЛАТЬ В СЛУЧАЯХ, КОГДА НИ ОДНО ИЗ СВОЙСТВ НЕЗАВИСИМОСТИ НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ?

Предположим, однако, что нами было установлено, что ни один из факторов не является независимым по полезности от другого. Свойство взаимной независимости по полезности является необходимым условием аддитивности функции полезности. Поэтому, очевидно, ни одна из обсуждавшихся выше форм функции полезности не может быть признана для этого случая в строгом смысле подходящей. Более того, предположим, что была предпринята попытка снизить размерность факторов в задаче при помощи способа, обсуждавшегося в гл. 3. И это также не удалось. Однако мы все еще хотим количественно описать предпочтения лица, принимающего решение. Вопрос состоит в том, как можно получить функцию полезности и на приемлемую для принятия решений? Существует несколько возможностей решения этого вопроса:

1. Корректировка факторов или преобразование их в новые, которые могут допустить использование независимости по полезности.

2. Непосредственное нахождение функции путем установления значений полезности нескольких последствий из и последующего использования интерполяции, экстрополяции и кривых соответствия.

3. Использование различных результатов предыдущих глав для тех или иных подпространств пространства и проведение далее согласованного шкалирования.

4. Разработка новых или использование существующих, на уже более сложных допущений о структуре предпочтений лица, принимающего решение. Такие допущения приводят к функциям полезности более общего вида.

Рассмотрим эти подходы более подробно. Отметим, что выборного или иного подхода к решению задачи в значительной степени зависит от конкретных особенностей самой задачи.

5.7.1. Преобразование факторов. Иногда оказывается возможным сформировать новый набор факторов, отличный от принят того ранее, и, используя его, продолжить анализ задачи. К сожалению, в этом случае приходится вновь возвращаться к обсуждавшимся в гл. 2 вопросам о пригодности этого набора факторов, таким как, полнота и измеримость выбранных факторов. Более того, может оказаться, что необходимо повторить значительную часть анализа, в том числе, возможно, и процедуры вероятностной оценки. Во избежание этого следует попытаться выбрать, новые факторы таким образом, чтобы они находились в просто» функциональной связи с исходными. Тогда практически все результаты уже проведенного анализа окажутся пригодными для применения и в новых условиях.

Рассмотрим простой пример. Пусть факторы отражают уровень преступности в двух районах города соответственно. Структура предпочтений для пар может оказаться весьма сложной. Относительный порядок предпочтительности для лотерей с исходами, отражающими активность преступной деятельности в одном из районов города, по тем или иным причинам может оказаться в значительной зависимости от уровня преступности в другом районе. Теперь определим два новых фактора Фактор S можно интерпретировать как некоторый показатель усредненной преступности в городе, а фактор Т — как индикатор «перемещения» преступной деятельности из одного района в другой. Фактор и Г функционально связаны с факторами . Если заданы распределения вероятностей на , то можно получить и распределения вероятностей на и Т. К тому же, хотя на пространстве могут не выполняться никакие упрощающие допущения о предпочтениях, такие допущения могут оказаться справедливыми на пространстве

Пример 5.2. Пусть исходные факторы не обладают никакими свойствами независимости по полезности. Тогда, все же может оказаться возможным ввести новые факторы , которые обладают свойствами независимости. Например, факторы 5 и Т могут быть аддитивно независимыми и допускать существование функции полезности следующего вида:

В этом случае оценка функции полезности (5.66) оказывается не трудной.

Заметим, что

Это выражение показывает, что факторы действительно не обладали никакими свойствами независимости по полезности.

5.7.2. Непосредственное нахождение значений функции полезности. Процедура непосредственного нахождения (прямой оценки) функции полезности, в сущности, аналогична процедуре, обсуждавшейся в п. 5.1.2. Выберем в качестве эталонных два последствия и зададим для них значения функции полезности. Затем, используя эталонные лотереи и эмпирические оценки, полученные от лица, принимающего решение, последовательно определим полезности ряда последствий, принадлежащих пространству Далее с помощью тех или иных методов можно установить значения полезности для всех возможных последствий.

5.7.3. Использование свойств независимости по полезности для подпространств пространства YxZ. Идея проста: пространство последствий следует лишь разделить на такие части, для которых пригодны различные формы функции полезности, обсуждавшиеся в предыдущих параграфах. При этом нужно постоянно

помнить о том, что необходимо обеспечить согласованное шкалирование функции

Пример 5.3. Предположим, что нужно найти функцию и на области, ограниченной условиями этом предпочтительность последствий увеличивается с увеличением значений каждого из факторов. Пусть фактор Z не зависит по полезности от У при Тодда, если положить то из выражения (5.42) следует, что

Предположим также, что на оставшейся части исходной области фактор У не зависит по полезности от Если задать , тогда

Поскольку обе функции обладают одним и тем же началом отсчета, для их согласованного шкалирования необходимо найти лишь шкалирующую константу К:

В этом случае согласованная функция полезности для всего пространства имеет следующий вид:

5.7.4. Более слабые допущения относительно структуры предпочтений. В этом пункте представлено несколько моделей, более общих, чем рассмотренные в предыдущих параграфах. Допущения, необходимые для существования этих более общих функций полезности, как и следовало ожидать, более сложные, чем использованные ранее. Преимущество таких моделей очевидно. В целом они оказываются более пригодными для описания определенной структуры, предпочтений лица, принимающего решение, и, следовательно, дают больше оснований надеяться, что представление не будет искаженным. Основной недостаток этих моделей — трудность их использования. Для более общих моделей значительно сложнее проверить справедливость необходимых допущений, а также произвести построение функции полезности когда такая проверка завершена. При выборе модели для описания чьей-либо функции полезности необходимо учитывать это сочетание преимуществ и недостатков.

«Обращение» предпочтений. Если фактор Z не зависит по полезности от У, то

где функция должна быть больше нуля. Отсюда следует, что порядок предпочтения лотерей с исходами из Z будет всегда одним и тем же, независимо от значения у. Предположим, что может принимать и отрицательные, и нулевые значения. Тогда, если то порядок предпочтений на лотереях с исходами из Z при заданном значении у будет прямо противоположен порядку при заданном значении Если то все лотереи с исходами из Z при заданном у будут равноценны. Фишберн (1974) рассмотрел такие «обращения» предпочтений, а также случай равноценности и получил результаты, аналогичные результатам § 5.4

Обобщение свойства независимости по полезности. Наиболее общим из обсуждавшихся до сих пор результатов было представление функции полезности в виде выражения (5.38), которое требует построения двух функций полезности для У и одной функции полезности для Были определены необходимые и достаточные условия для того, чтобы можно было ограничиться построением функций полезности по каждому фактору отдельно. При выполнении этих условий функция может быть определенна в результате построения согласованно шкалированных функций полезности для последствий, выделенных жирными линиями на рис. 5.12, г. Получаемая в результате функция полезности имеет следующий вид:

Необходимые допущения, доказательство самого результата (5.68) и обсуждение ряда вопросов шкалирования функций можно найти в работе Фишберна (1974).

Параметрическая зависимость. Как отмечалось в § 5.2, если фактор Z не зависит по полезности от У, то отношение к риску, характеризуемое предпочтениями относительно лотерей с исходами из не зависит от фактора У. Керквуд (1976) нашел такое свойство параметрической зависимости, которое снимает указанное ограничение, но требует, чтобы предпочтения относительно исходов из Z при различных значениях фактора У могли быть представлены функциями полезности из одного и того же параметрического семейства. Например, если предпочтительность исходов увеличивается при увеличении фактора У и имеет место несклонность к риску при всех значениях но степень этой несклонности различна, получаем

Выражение (5.69) показывает, что все условные функции полезности от У зависят и от и эта зависимость характеризуется параметром В этом случае фактор У параметрически зависим

от Более формально, можно сказать, что фактор У параметрически зависим от если условные функции полезности от У при различных заданных значениях z зависят от и эта зависимость выражается только через параметр Это означает, что

где является условной функцией полезности У при? заданном

Следующая теорема раскрывает возможность использования параметрической зависимости.

Теорема 5.10. Пусть фактор У параметрически зависим от тогда функция полностью определяется тремя согласованно шкалированными функциями полезности от Z при заданных значениях у и одной функцией полезности от У при заданном значении

Ограничимся неформальным доказательством. Рассмотрим рис. 5.14.

Рис. 5.14. Если фактор У параметрически зависит от функция полезности полностью определяется значениями полезности последствий, выделенных жирными линиями

В теореме 5.10 утверждается, что при выполнении сформулированных условий полезность любой точки может быть установлена на основе уже известных согласованно шкалированных, значений полезности последствий, выделенных жирными линиями. Построив мы тем самым установили и функциональный вид функции полезности при всех значениях Для того чтобы определить значение параметра для любого конкретного значения нужно использовать лишь значения полезностей последствий Затем функция шкалируется с помощью значений что позволяет определить полезность любого последствия

Очевидно, что понятие параметрической зависимости можно распространить и на семейства функций полезности, характеризуемых двумя параметрами. Тогда несложно получить результаты, аналогичные теореме 5.10. Например, единственным изменением формулировки теоремы 5.10 будет то, что потребуется оценить четыре условные функции полезности от на одну больше, чем раньше. Аналогично можно вывести результаты использующие как параметрическую зависимость, так и независимость, по полезности. Некоторые из них можно найти в работе Керквуда (1972).

Показатели суммарного состояния. Закончим этот параграф дальнейшим обобщением, которое будет развито в гл. 9. Рассмотрим два фактора , но предположим теперь, что фактор Z является многомерным. В некоторых случаях условная функция полезности от У может зависеть от (многомерного) Z и эта зависимость полностью характеризуется посредством некоторого описания (дескриптора) суммарного состояния, например В некоторых случаях область значений 0 может быть одномерной. Например, предположим, нас интересуют динамические потоки потребления. Полезность будущего потребления начиная с некоторого момента времени может зависеть от потребления в предыдущем и настоящем. Однако в качестве аппроксимации можно предположить, что полезность будущего потребления зависит от предыдущего только непосредственно через настоящее, в момент времени Следовательно, поток потребления до момента времени включительно может быть полностью охарактеризован описанием состояния — потреблением в момент времени Этот пример является естественной аналогией понятия марковской зависимости в традиционной теории вероятностей. Другие слабые виды вероятностной зависимости также имеют свои аналоги в области теории полезности. Другими словами, если различные допущения о независимости по полезности оказываются неприемлемыми, в анализ могут вводиться различные слабые виды зависимости по полезности. Насколько нам известно, это направление исследований только зарождается (см. § 6.10, Белл (1975а) и Мейер (1975)).

Как отмечалось в начале этого пункта, большая общность функций полезности порождает большую трудность в их использовании. Во многих задачах более простые модели часто оказываются «достаточно хорошими» аппроксимациями даже в тех случаях, когда они не очень точны. Однако в остальных случаях важно понимать, каким образом может быть достигнуто такое увеличение общности модели, при котором трудность проведения необходимых оценок все-таки остается в разумных границах.