4.9. ПРОЦЕДУРА ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПОЛЕЗНОСТИ

Прочитав название параграфа, Вы могли бы подумать, что в нем излагается общая процедура, подходящая каждому и в любое время. Но фактически он содержит описание «процедуры построения функций полезности», которая, может быть, подойдет некоторым людям в некоторые периоды времени.

Для того чтобы Вы правильно нас поняли, заметим, что мы не утверждаем, будто Вы не сможете построить функцию полезности в большинстве задач. Мы утверждаем, однако, что процедура, которая сейчас будет рассматриваться, не обязательно будет подходящей во многих случаях. Это главным образом обусловлено тем, что построение функций полезности в такой же степени искусство, как и наука, и поэтому невозможно составить единый свод правил, который обязательно приводил бы к построению функций полезности. Фактически существуют не только различные методы построения функций полезности, но и много разновидностей каждого из них. По этой же причине очень трудно предсказать, какой метод будет лучшим в определенной ситуации, так как это зависит от конкретного лица, принимающего решение, существа задачи и многих очевидных факторов. Таким образом, описываемая в этом параграфе процедура отнюдь не является процедурой, пригодной во всех случаях, по той простой причине, что такой процедуры не существует вообще.

Однако основные идеи, используемые при построении функции полезности, остаются более или менее одними и теми же для всех процедур. Иными словами, независимо от того, какой метод будет использован для построения функции полезности, характерные вопросы или задачи, которые должны быть рассмотрены и решены при использовании любой процедуры построения, в основном одни и те же. Для того чтобы это положение сделать более понятным, разделим процедуры на следующие пять этапов:

1. Подготовка к построению.

2. Идентификация подходящих качественных характеристик.

3. Установление количественных ограничений.

4. Подбор функции полезности.

5. Проверка согласованности.

Различные процедуры построения возникают в связи с тем, что имеется много путей осуществления каждого из пяти этапов. Хотя это разделение позволяет нам точно выделить то, что

включает в себя построение функции полезности, в практике различие между некоторыми этапами может быть не таким ясным.

Прежде чем перейти к изложению основного материала, подчеркнем, что здесь дается значительно больше подробностей, чем это потребовалось бы при построении функции полезности конкретного лица, принимающего решение. Аналитик, зная все описанные и, возможно, несущественные моменты, без сомнения, в большинстве случаев сочтет целесообразным пропустить многие из них. Например, подготовительные к построению функции полезности мероприятия могут не проводиться, если мы имеем дело с человеком, знакомым с анализом решений, поскольку цель этапа 1 состоит в том, чтобы обеспечить общение аналитика и лица, принимающего решение, на одном и том же языке.

4.9.1. Подготовка к построению функции полезности. Напомним, что, как указывалось в гл. 1, анализ решений в полном объеме делится на пять этапов: предварительный анализ, структуризация задачи, нахождение подходящих вероятностных распределений, выявление предпочтений для исходов и максимизация ожидаемой полезности. Перед выявлением предпочтений нужно объяснить методологию анализа решений лицу, принимающему решение, и с его помощью структуризовать задачу. Таким образом, мы полагаем, что лицо, принимающее решение, ясно понимает причину необходимости описания его предпочтений и намерено глубоко обдумывать свои суждения, касающиеся различных исходов. С этого момента мы приступаем к построению его функции полезности.

Еще до начала построения лицу, принимающему решение, должно быть ясно, что мы интересуемся его предпочтениями. Он должен понимать, что не существует правильных объективных предпочтений и что важны лишь те предпочтения, которые представляют субъективное мнение лица, принимающего решение. Если в некоторый момент он почувствует себя стесненным некоторыми из ранее высказанных им субъективных суждений, то ему лучше всего (а фактически это необходимо для корректности анализа) изменить свое мнение. В этом и состоит одна из целей анализа решений: лицу, принимающему решение, должна быть понятна необходимость выражать свои предпочтения и корректировать их в собственном сознании.

Поясним это положение. Эксперименты показали, что многие люди допускают стандартные ошибки, первый раз участвуя в построении функции полезности. Они отвечают на определенные гипотетические вопросы и, «возможно, даже уверены в своих ответах. Но они бывают ошеломлены некоторыми следствиями из высказанных ими мнений. Опытный аналитик может посчитать целесообразным указать эти следствия опрашиваемому эксперту и при помощи различных компромиссных суждений помочь ему преодолеть такие затруднительные положения. В этом случае, конечно, возникает некоторая опасность: ведь в конечном счете мы должны выявить предпочтения не аналитика, а лица, принимающего

решение. Тем не менее определенные усилия могут помочь лицу, принимающему решение, задуматься несколько глубже о его задаче. Если вмешательство аналитика не продумано и будет подавляющим, то, разумеется, попытка свести предпочтения лица, принимающего решение, в единое целое окажется безрезультатной.

В этой главе, посвященной теории одномерной полезности, мы имеем дело со случаем, когда каждый возможный исход любого действия может быть адекватно описан одним критерием. Пусть X — некоторая оценочная функция, которая каждому исходу ставит в соответствие действительное число Важно, чтобы принимающий решение понимал ориентацию шкалы: являются ли большие числа х более «ли менее желательными? Являются ли предпочтения возрастающими по х до некоторого значения, а затем убывают?

В одних контекстах критерий X может быть совершенно естественным и шкала х может быть задана в естественных физических единицах типа денежных вкладов, доли рынка, спасенных жизней или затраченного времени. В других контекстах значения на шкале х могут представлять такие субъективные оценки, как показатель (индекс) комфорта, эстетичности и функциональности. Не важно, как мы получаем значения х. Мы спрашиваем лишь, предпочитаем ли мы исход исходу

Затем мы ограничиваем область, на которой мы должны выявить предпочтения, до наименее возможных размеров. Исходя из структуры задачи, принимающий решение обычно в состоянии ограничить возможные значения х. Затем мы сможем выбрать так, чтобы любое возможное значение х было ограничено величиной снизу и х сверху. Они должны быть выбраны подходящими и понятными для принимающего решение. Например, если х изменяется от 0 до 8,75 в некоторых единицах, мы могли бы определить В то же время величина могла быть мало понятной для принимающего решение. Предпочтения, которые мы в конечном счете выявим, должны относиться только к исходам х, удовлетворяющим условию

Рис. 4.19. Пространство оценок в случае одного критерия

Для окончательной проверки того, как лицо, принимающее решение, понимает представление исходов действительными числами, мы его спрашиваем, предпочитает он или нет исход Т исходу

S в последовательности исходов, представленных на рис. 4.19, где точки следует выбирать так, чтобы для нас, аналитиков, было ясно, что принимающий решение должен уверенно предпочесть одну из них. Если в этом случае его предпочтения согласуются с ожидаемым результатом, мы приступаем к построению

функции полезности. Если нет, то мы просим его раскрыть свои соображения и затем, возможно, повторяем частично или полностью процесс ознакомления.

О подготовительных мероприятиях сказано достаточно. Основная идея — ознакомить лицо, принимающее решение, с подходом, который мы используем для построения его функции полезности.

Все эти подготовительные мероприятия теоретически тривиальны, и Вы могли бы подумать, что мы подчеркиваем очевидные Вам вещи. Однако мы сами совершили много ошибок, помогая другим строить функции полезности, и очень часто непродуманность именно этих простейших подготовительных мероприятий запутывала процедуру.

4.9.2. Идентификация подходящих качественных характеристик. Уже на ранних этапах процесса построения функции полезности целесообразно выяснить, монотонна она или немонотонна. Используя рис. 4.19, мы спрашиваем лицо, принимающее решение: какое значение предпочтительнее, 5 или Предположим, что предпочтительнее. Тогда мы могли бы спросить: предпочтительнее ли Т, чем Предположим опять, что да. Таких вопросов может быть и больше, но в заключение мы спрашиваем; если всегда ли предпочтительнее Из предыдущих ответов, например, мы могли бы, вероятно, ожидать положительный ответ, из которого следует, что монотонно возрастает по х. Если это не согласуется с нашим собственным пониманием исходов, мы могли бы изложить наши соображения лицу, принимающему решение, и еще раз проверить его предпочтения. Цель этого — обучить принимающего решение (а не внушить ему свои убеждения) и, если удастся, заставить глубоко обдумать свои предпочтения.

Затем следует выяснить, отражает ли и склонность, безразличие или несклонность к риску. Сначала мы выясняем у лица, принимающего решение, предпочитает он или же х при произвольно выбранных Если он предпочитает лотерею, то у нас есть основания считать, что он может быть склонным к риску, если он предпочитает ожидаемый выигрыш х, мы полагаем, что он несклонен к риску. Этот же вопрос можно повторить, варьируя значения каждой из переменных х или оставляя каждый раз в процессе таких вариаций одну из этих величин неизменной. Если лотереи были выбраны так, что вся область возможных исходов оказалась покрытой, и если всегда предпочитался ожидаемый выигрыш, разумно принять, что принимающий решение не склонен к риску. Если же в подобных условиях всегда предпочиталась лотерея, то он склонен к риску. И, конечно, безразличие к любому выбору между лотереей и ее ожидаемым выигрышем указывает на безразличие к риску. У знакомого с математикой лица, принимающего решение, который предпочитает х исходной лотерее мы просто спрашиваем: «Если величинам позволить принимать значения из всей области возможных исходов, то будете ли Вы предпочитать х, а

не Положительный ответ будет означать наличие несклонности к риску.

Для менее искушенного человека может потребоваться более упрощенный вариант этой процедуры. Например, мы могли бы разделить область значений критерия X на 10 равных интервалов, обозначив точки деления через (см. рис. 4.20).

Рис. 4.20. Обозначения, используемые при анализе отношения к риску

Теперь мы спрашиваем, что предпочитает принимающий решение: или При несклонности к риску предпочтительнее будет Подобным же образом мы расспрашиваем о предпочтениях относительно для Если и характеризует несклонность к риску, достоверные исходы (равные ожидаемым выигрышам) во всех этих случаях будут предпочитаться лотереям. Если принимающий решение «а все вопросы ответит указанным образом, мы можем считать подтвержденным предположение о том, что он не склонен к риску. Если он всегда предпочитал лотерею, мы принимаем, что он склонен к нему.

Теперь полезно установить, связана ли и с возрастающей, убывающей или постоянной несклонностью к риску. Один из методов решения этого вопроса предусматривает определение детерминированного эквивалента такого, чтобы принимающий решение был безразличен к выбору между Процедура отыскания такого эквивалента приведена в следующем пункте. Нам нужно также определить детерминированный эквивалент для при . Если при возрастающих функциях полезности с увеличением х надбавка за риск убывает (возрастает, остается постоянной), то и характеризуется убывающей (возрастающей, постоянной) несклонностью к риску. Может оказаться, что точно определить трудно. Однако, возможно, принимающий решение ответит качественно, возрастает ли с ростом I, убывает или остается постоянной, не указывая самих значений Возможно, что будет возрастать в некоторых областях значений X и убывать в других. Такие сведения также представляют ценность.

У более искушенного человека аналитик мог спросить о надбавках за риск к лотереям вида для конкретных х и А. Затем он выяснил бы, как будет изменяться эта надбавка с увеличением х при фиксированном А. Если, как это часто бывает в случае денежных сумм, надбавка за риск убывает при увеличении х, то имеются серьезные основания для предположения об убывающей несклонности к риску. При выполнении этой процедуры мы часто можем убедиться, что у человека убывающая несклонность к риску, даже не заставляя его указывать конкретное числовое значение надбавки за риск к какой-либо конкретной

лотерее Полезно заметить, что часто людям очень удобно отвечать на такие вопросы качественного характера.

Мы только что указывали несколько путей определения некоторых характеристик функции полезности и — монотонности, несклонности к риску, убывающей несклонности к риску и т. д. Эти методы доказали свою пригодность во многих задачах принятия решений. Однако в некоторых других задачах наиболее интересной характеристикой может оказаться пропорциональная несклонность к риску.

Аналитик должен быть способен разработать простой метод подобного рода для выяснения вопроса о наличии пропорциональной несклонности к риску. Такой метод должен учитывать особенности задачи и способности принимающего решение.

После идентификации качественных характеристик нужно найти количественные оценки полезности для нескольких точек шкалы Затем аналитик может провести через них «гладкую» функцию полезности, имеющую установленные качественные характеристики, или наметить подходящее значение параметра для выбранного семейства функций полезности, обладающего качественными особенностями, о которых уже получены сведения от лица, принимающего решение. Рассмотрим эти количественные построения.

4.9.3. Конкретизация количественных ограничений. Третий этап построения функции полезности заключается во введении определенных количественных ограничений, т. е. установлении значений полезности для нескольких конкретных точек. Обычно это связано с нахождением детерминированного эквивалента для нескольких лотерей 50—50.

Рис. 4.21. Метод «схождения» для определения детерминированного эквивалента

Обращаясь к рис. 4.21 для пояснения смысла выигрышей и т. д., предположим, что мы собираемся определить детерминированный эквивалент лотереи Начнем с того, что спросим у лица, принимающего решение: предпочитает он или же Выигрыш выбирается так, чтобы можно было получить вполне определенный ответ. Допустим, что лицо, принимающее решение, предпочитает лотерею, а не и это соответствует нашим предположениям. Тогда мы задаем ему вопрос, что предпочтительнее или где выбрано так, что разумно ожидать выбор Допустим, что наши предположения оказались верными. Затем мы выясняем, как соотносятся по предпочтительности Поскольку «близок» к мы отчасти ожидаем, что лотерея будет предпочтительнее, но, возможно, и нет. Продолжаем эту процедуру «схождения» до тех пор, пока достигнем такого х, что к и для лица, принимающего решение, одинаково

желательны (или нежелательны). Если лицо, принимающее решение, указывает некоторые предпочтения, а нам кажется, что они не представляют его «истинных» предпочтений, то ему об этом надо сказать и вновь вернуться к обсуждению. При условии, что оценки корректны в том смысле, что лицо, принимающее решение, действительно безразлично к выбору между является детерминированным эквивалентом этой лотереи. И, разумеется, полезность, приписываемая Я, должна быть равна ожидаемой полезности лотереи Более точно, мы полагаем

Пользуясь этой процедурой, мы можем определить детерминированные эквиваленты для некоторых лотерей, что поможет нам построить функцию полезности лица, принимающего решение. Предположим, в частности, что нас интересует функция полезности для всех х, таких, что Причина такого изменения обозначений скоро станет ясной. Разумным первым шагом будет определение детерминированного эквивалента лотереи Тогда ясно, что

Затем мы определяем детерминированные эквиваленты для которые мы обозначим через соответственно. Очевидно, что

Предположим, что предпочтения лица, принимающего решение, возрастают по х и что Тогда мы можем произвольно принять

Подставляя эти значения в (4.28), (4.29) и (4.30), легко получаем

Равенства (4.31) — (4.35) устанавливают, как показано на рис. 4.22, пять точек для функции полезности по Через эти точки, используя установленные качественные характеристики, можно провести кривую функции полезности.

Однако прежде чем это сделать, следует включить в процедуру какую-либо простую проверку на согласованность. Например, мы можем определять детерминированный эквивалент по мнению

лица, принимающего решение, для В случае согласованности к должен равняться поскольку Таким образом, у нас имеется необходимая информация для того, чтобы провести простую проверку и выяснить, отражает функция полезности склонность или несклонность к риску.

Рис. 4.22. Процедура построения функций полезности по пяти точкам

Напомним, что если и — возрастающая функция, отражающая несклонность к риску, то детерминированные эквиваленты 0,25, 0,5 и 0,75 будут меньше ожидаемых выигрышей в соответствующих лотереях. Напротив, при склонности к риску эти детерминированные эквиваленты должны быть больше ожидаемых выигрышей. Для монотонно убывающих функций, как было выяснено ранее, верно обратное.

Если проведенная проверка согласованности выявила противоречивость предпочтений, то нужно обратить внимание принимающего решение на обнаруженные противоречия и повторить часть процедуры построения для их устранения и получения непротиворечивых предпочтений. Такая итеративная процедура приводит к лучшей формулировке предпочтений лица, принимающего решение.

Прежде чем двигаться дальше, следует подробно продумать все возможные взаимосвязи между идентификацией качественных характеристик функции полезности и назначением количественных характеристик ограничений. Предположим, например, что при проверке относительно несклонности к риску для функции полезности при принимающий решение установил, что детерминированный эквивалент лотереи равен 400. Мы обратили на это внимание и спрашиваем: «Всегда ли ожидаемый исход предпочтительнее самой лотереи?». Положительный ответ будет указывать на то, что принимающий решение не склонен к риску. Предположим, далее, что принимающий решение постоянно не склонен к риску, так что его предпочтения могут быть представлены функцией полезности Поскольку у этой функции имеется всего один параметр с, нам не нужно больше вводить никаких количественных ограничений, так как мы уже

знаем, что Отсюда мы можем найти величину с. При помощи этого значения, разумеется, часто будет благоразумно осуществить проверку согласованности. В § 4.7 мы показали, как можно найти функцию из однопараметрического семейства функции полезности, отражающих постоянную несклонность к риску, используя ответ на один вопрос. Это также иллюстрирует взаимосвязь между этапами построения функции полезности, которые мы выделили в основном для удобства описания процедуры.

Теперь укажем два положения, связанные с построением, которые обсуждались Шлейфером (1969). Исходы, используемые при построении функций полезности, должны психологически восприниматься принимающим решение как жизненные. Боли, например, мы хотим построить функцию полезности какого-то человека для денежных сумм от 0 до 20000 дол., нам не следует спрашивать его о выигрышах порядка 1 млн. дол. Ему не удастся, возможно, представить себе такую сумму, и это приведет к несогласованным оценкам. Для той же самой функции полезности определение детерминированного эквивалента лотереи может не дать сколь-нибудь полезной информации, поскольку экстраполяция полученного результата на всю область возможных денежных сумм вряд ли будет уместна.

4.9.4. Подбор функции полезности. После того как мы нашли некоторые характерные качественные и количественные свойства функции полезности, нужно выяснить, являются ли они согласованными. То есть существует ли функция полезности, обладающая одновременно каждым из них? Если такая функция существует, то насколько ограничительно требование наличия этих свойств и как подобрать подходящую функцию полезности? Если же такой функции не существует, то как получить согласованную совокупность свойств?

Один из способов ответа на эти вопросы предполагает вначале отыскание параметрического семейства функций полезности, которые обладают нужными свойствами (такими, как несклонность к риску), ранее установленными при опросе лица, принимающего решение. Затем, используя количественные оценки, т. е. детерминированные эквиваленты, мы пытаемся найти конкретного представителя этого семейства, подходящего для описания предпочтений лица, принимающего решение. Информация о детерминированных эквивалентах используется далее для определения значений параметров исходного семейства функций полезности. Если нам повезет, то мы найдем функцию полезности, обладающую всеми качественными и количественными свойствами одновременно. К сожалению, нет общей процедуры ни для выяснения вопроса о том, совместна ли данная совокупность количественных и качественных свойств, ни для получения вида функции полезности, когда эти свойства совместны. Насколько нам известно, наиболее продвинулись в решении этих задач Мейер и Пратт (1968),

которые нашли ответ на указанные вопросы для некоторых важных случаев.

Первая из рассмотренных ситуаций относится к случаю, когда имеются детерминированные эквиваленты некоторых простых лотерей и установлены области склонности и несклонности к риску. Авторы доказали, что функция полезности, обладающая требуемыми свойствами, существует при условии, что удовлетворяются некоторые линейные ограничения. Отыскание границ подходящей функции полезности сводится, по существу, к решению задачи линейного программирования.

Вторым важным случаем является тот, когда известно некоторое произвольное число детерминированных эквивалентов и для принимающего решение характерна убывающая несклонность к риску. Мейер и Пратт указали алгоритм, проверяющий совместность этих данных и выделяющий семейство функций полезности, обладающих соответствующими свойствами, а также проиллюстрировали работу этого алгоритма.

Для иллюстрации некоторых их положений предположим, что функция полезности монотонно возрастает по х и отражает убывающую несклонность к риску. Из § 4.6 мы знаем, что семейством функций полезности, обладающих такими свойствами, является

где и положительные постоянные. Используя (4.36) для оценки полезностей исходов в (4.31) — (4.35)} получим пять уравнений с пятью неизвестными. Тогда, если эти уравнения имеют решение при наложенных ограничениях на параметры, то они позволят нам выделить конкретную функцию семейства (4.36), которая описывает предпочтения лица, принимающего решение. Если же они не имеют решения, то аналитик сталкивается с проблемой косвенного сравнения неудобств, связанных с выборам «почти подходящей» функции полезности и с дальнейшим поиском «более подходящей» функции полезности, зная к тому же, что дальнейшие поиски могут и не улучшить состояние дел. Таким образом, во многих случаях подбор функции полезности при полученных ограничениях является отчасти эвристическим процессом поиска. К сожалению, мы не можем предложить никаких четко сформулированных процедур для решения такой задачи. Однако, если мы получили функцию полезности, которая удовлетворяет почти всем ограничениям и «не очень сильно» несовместна с остальными, то в силу субъективности оценок полезности,

получаемых от лица, принимающего решение, представляется приемлемым подвергнуть эту функцию дальнейшему изучению.

Обсудим, наконец, немонотонные функции полезности. Хотя теория для этого случая не столь изящна, в операциональном отношении задача лишь немного сложнее, чем в случаях, когда функция полезности монотонна. Предположим, что наши предпочтения по X возрастают до а затем убывают. Разумный путь описания таких предпочтений состоит в том, чтобы построить одну функцию полезности для и другую, для Ясно, что монотонно возрастает по монотонно убывает и к этим случаям приложима ранее рассмотренная теория. Остается только задача правильного шкалирования Во-первых, мы фиксируем по одной точке для каждой функции полезности, полагая Во-вторых, мы определяем такие, что принимающий решение безразличен к выбору между Затем, разумеется, мы полагаем и этим фиксируем вторую точку для каждой функции полезности. После того как это сделано, получаем функцию полезности, пригодную для всех х,

4.9.5. Проверка согласованности. Существует большое число способов проверки согласованности, которые могут быть использованы для выявления искажения функции полезности лица, принимающего решение. Под искажением мы понимаем то, что построенная функция полезности в действительности не соответствует полностью его истинным предпочтениям. В этом пункте мы обсудим два способа проверки согласованности. Руководствуясь этими (и другими, обсуждавшимися в данном параграфе) способами, аналитик не будет испытывать затруднений при разработке других способов проверки функции полезности на наличие противоречий.

Один общий и эффективный способ проверки состоит в том, чтобы попросить лицо, принимающее решение, сравнить по предпочтительности некоторую лотерею и некоторый выигрыш или сравнить две лотереи. В обоих случаях для наличия согласованности нужно, чтобы ожидаемая полезность предпочитаемой ситуации была больше.

Более «тонкая» проверка согласованности поясняется следующим примером. Предположим, что функция полезности лица, принимающего решение построена для критерия «денежная прибыль»,

так что нуль — существующее положение. И предположим еще, что мы хотим иметь функцию полезности для Часто, как показал опыт, может оказаться, что принимающий решение не склонен к риску на всем интервале, кроме малых отрицательных значений (т. е. для для которых он указал, что охотнее бы участвовал в лотерее чем получил наверняка Заметим, что исход В означает, по существу, выплату 4 единиц. Аналитик может усомниться в истинности такого отношения к риску и исследовать его следствия совместно с принимающим решение. Предположим, что наряду с рассматривается выбор С, в котором принимающий решение выплачивает 4 единицы, после чего получает право участвовать в лотереей Выборы изображены на рис. 4.23.

Рис. 4.23. Проверка согласованности, предназначенная для выявления нетранзитивности, требующей дальнейшего исследования

Как мы уже знаем, лицо, принимающее решение, указало, что Теперь мы его спрашиваем о его предпочтениях между . Он отвечает: «В обоих случаях я должен вначале выплатить 4 единицы. В В этим все кончается. Однако в С я должен участвовать в лотерее с отрицательным ожидаемым выигрышем —1. Мои предпочтения очевидны: я выбираю В». Следовательно,

Однако теперь аналитик просит: «Сравните и изложите свои соображения об их общем соотношении». Хорошенько подумав, принимающий решение говорит: «Лотерея А понятна: я получаю либо —10, либо 0 с шансами 50 против 50. В С я теряю 4 и затем получаю их обратно или теряю еще 6. Я полагаю, что в С я также получаю либо —10, либо 0 с шансами 50 против 50. Поэтому я должен быть безразличен к выбору между .

Результат должен быть очевидным: лицо, принимающее решение, предпочитает А, но не В, и В, но не С, однако считает одинаковыми но предпочтительности. Возникла нетранзитивность. Большинство людей, после того как им указали на этот факт, удивляются и заявляют, что они не хотят иметь такой несогласованности в своей структуре предпочтений. Подумав, люди часто считают удобным принять, что и Таким образом, они вынуждены прийти к заключению, что Это может привести к устранению отражающего склонность к риску куска функции полезности в интервале В результате принимающий решение стал лучше понимать свои собственные предпочтения и

в процессе исследования помог самому себе «прочистить мозги» Ясно, что для функций полезности, порождающих сложную структуру предпочтений, и необходимость в содержательных проверках согласованности больше, и условия проведения таких проверок благоприятнее. Как уже упоминалось, если проверка выявляет противоречия в предпочтениях, указанных лицом, принимающим решение, раньше, то нужно привлечь его внимание к этим противоречиям и для получения согласованных предпочтений повторить часть процедуры построения функции полезности. Как только получена функция полезности, которая, по мнению лица, принимающего решение, и аналитика, правильно отражает истинные предпочтения данного лица, можно продолжить анализ дальше.

4.9.6. Использование функции полезности. В этом пункте разберем два практических положения, которые оказываются полезными при проведении анализа чувствительности. Они связаны с проверками согласованности и всей процедурой построения функций полезности, так как показывают, как нам следует уточнить оценки.

Упрощение расчетов ожидаемой полезности. Часто приходится иметь дело с функцией полезности, имеющей экспоненциальные члены. Простым примером является функция полезности, отражающая постоянную несклонность «к риску и имеющая вид

где с — положительная постоянная. Другим очень важным примером служит функция полезности, отражающая убывающую несклонность к риску,

где и с — положительные постоянные. Для случая, когда функции полезности имеют такую структуру, а возможные исходы огшсьшзаются плотностью распределения вероятности, существует простой способ вычисления ожидаемой полезности.

Экспоненциальное преобразование для плотности распределения

где для дискретных распределений означает суммирование (при этом -значения вероятностей), было рассчитано для большинства распространенных вероятностных распределений. Не претендующий на полноту перечень результатов приведен в табл. 4.6. Если функция полезности имеет вид (4.37), а действие приводит к случайному исходу х, описываемому плотностью распределения то ожидаемую полезность этого действия можно легко вычислить, если [см. (4.39)] заметить, что

Таблица 4.6. (см. скан) Экспоненциальные преобразования некоторых распространенных вероятностных распределений

Когда функция полезности имеет вид (4.38), ожидаемую полезность можно рассчитать «с помощью выражения

Аналогично для плотности распределения определено преобразование Меллина

Это преобразование также затабулировано для большинства распространенных вероятностных распределений и может быть

использовано при расчетах ожидаемой полезности, когда функция полезности содержит степени х.

Параметрический анализ. Опытный аналитик обычно проводит анализ чувствительности. Для задач принятия решений он заключается в определении чувствительности лучшего решения к параметрам функции полезности. Предположим, что на основании ответов, полученных от лица, принимающего решение, мы установили, что его предпочтения могут быть описаны функцией полезности

Предположим, однако, что он испытывал затруднения при определении детерминированных эквивалентов лотерей, и поэтому мы не очень уверены в правильности значений параметра с. Указанные им детерминированные эквиваленты для разных лотерей приводят к совсем разным значениям с, например в интервале от 1/3 до 1. Ясно, что <в таком случае целесообразно провести анализ чувствительности. Во-первых, мы можем оценить ожидаемую полезность каждого действия в виде функции параметра с. Если имеется всего три действия, то можно нарисовать графики таких функций, как это сделано на рис. 4.24. На основе такой информации альтернативу 3 можно сразу исключить из дальнейшего рассмотрения, так как она доминируется обеими альтернативами 1 и 2.

Рис. 4.24. Параметрический анализ при использовании

Если то лучшей является альтернатива 2; в противном случае следует выбрать альтернативу 1. Теперь для выбора решения нам не обязательно устанавливать точное значение с. Нужно только выяснить, больше ли с, чем 0,8, или же меньше. А эта задача проще, чем первоначальная.