§ 2. ОБРАТИМЫЕ МАТРИЦЫ
Обратимые матрицы.
Пусть А есть 
-матрица над полем скаляров 
. Если Е — единичная 
-матрица, то
Квадратная матрица называется обратимой, если существует матрица В, удовлетворяющая условиям
Матрица В, удовлетворяющая этим условиям, называется обратной к А. Матрицы А и В называются взаимно обратными.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Если матрица А обратима, то существует только одна матрица, обратная к А.
Доказательство. Предположим, что В и С — матрицы, обратные к А. Тогда 
Если матрица А обратима, то обратная к А матрица обозначается через 
Таким образом, для любой обратимой матрицы выполняются равенства
Множество всех обратимых 
-матриц над полем 
обозначается через 
ТЕОРЕМА 2.2. Алгебра 
есть группа.
Доказательство. Единичная матрица Е, очевидно, обратима и ввиду (1) является нейтральным элементом.
Если матрица А обратима, то в силу (2) матрица 
также обратима.
Множество 
обратимых 
-матриц замкнуто также относительно умножения. Действительно, если 
, то
т. е. матрица АВ обратима над 
и поэтому принадлежит множеству 
.
Наконец, по теореме 1.1, умножение матриц ассоциативно.
СЛЕДСТВИЕ 2.3. Произведение любого числа обратимых матриц есть обратимая матрица.
