Упражнения
1. Докажите, что любая фактор-группа аддитивной группы 
целых чисел является циклической.
2. Найдите все фактор-группы циклической группы порядка 12.
3. Докажите, что любая фактор-группа циклической группы является циклической.
4. Докажите, что фактор-группа симметрической группы 
подстановок 
степени по подгруппе 
всех четных подстановок есть циклическая группа второго порядка.
5. Докажите, что аддитивная группа 
целых чисел изоморфна аддитивной группе 2% четных чисел.
6. Докажите, что аддитивная группа всех комплексных чисел изоморфна аддитивной группе всех векторов плоскости.
7. Пусть — группа подстановок. Рассмотрим отображение h группы 
в мультипликативную группу чисел 
ставящее в соответствие каждой подстановке 
из ее знак 
т. Покажите, что h есть гомоморфизм.
8. Покажите, что мультипликативная группа корней 
степени из 1 изоморфна аддитивной группе 
классов вычетов по модулю 
9. Пусть 
— мультипликативная группа обратимых действительных 
-матриц и 
— мультипликативная группа действительных чисел, отличных от нуля. Пусть 
-отображение в 
ставящее в соответствие каждому элементу g группы определитель 
Докажите, что h есть гомоморфизм, ядром которого является подгруппа группы всех 
-матриц с определителями, равными 1.
10. Пусть (М — аддитивная группа действительных чисел и 
— мультипликативная группа комплексных чисел, модуль которых равен 1. Докажите, что отображение 
множества R в К, определяемое формулой 
есть гомоморфизм группы на группу 
с ядром 
11. Пусть g — аддитивная группа рациональных чисел и 
— аддитивная группа целых чисел. Покажите, что каждый элемент фактор-группы 
имеет конечный порядок. Докажите, что для всякого натурального 
отличного от нуля, 
имеет только одну подгруппу порядка 
и что каждая такая подгруппа циклическая,
