Универсальное множество. Дополнение множества.
Во многих приложениях теории множеств рассматриваются только такие множества, которые содержатся в некотором фиксированном множестве. Например, в геометрии мы имеем дело с множествами точек данного пространства, в элементарной арифметике с подмножествами множества всех целых чисел.
Всюду ниже буквы 
обозначают множества, содержащиеся в некотором фиксированном множестве, которое назовем универсальным и будем обозначать через U. Таким образом, мы считаем, что для каждого рассматриваемого множества А имеем 
Следовательно, для каждого множества А
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество 
называется дополнением множества А и обозначается через А (или через А). Дополнение 
множества А обозначается через 
(или А).
Нетрудно видеть, что
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4. Для любого множества А
Доказательство предоставляется провести читателю. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Если 
то 
Доказательство. Пусть 
Надо доказать, что для всякого 
из U, если 
то 
Действительно, если 
, то 
. Учитывая условие 
, мы заключаем, что 
ТЕОРЕМА 1.6. Имеют место следующие тождества:
Доказательство. Покажем, что для всякого 
В самом деле, 
тогда и только тогда, когда 
Но 
в том и только в том случае, когда 
, т. е. когда 
и, значит, 
.
Тождество (5) можно доказать следующим образом. Используя тождество (4) и закон инволюции, получим
Следовательно,
т. е. справедливо тождество (5).
