§ 7. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Комплексное расширение поля.

Пусть — поле и t — элемент (символ), не принадлежащий полю Выражение вида где а и b — произвольные элементы поля назовем линейным многочленом от t над полем (или формой). Элементы называются коэффициентами многочлена

Два линейных многочлена от t называются равными, если они имеют одни и те же слагаемые (одни и те же коэффициенты), с точностью до слагаемых с нулевыми коэффициентами, которые могут быть удалены из выражения (для формы). В частности, для любых элементов а и b поля

Обозначим через К множество всех линейных многочленов от t над полем

На множестве К определим операции следующими формулами:

Алгебру где 1 — единица поля назовем алгеброй линейных многочленов.

ТЕОРЕМА 7.1. Пусть — поле. Алгебра линейных многочленов над полем есть коммутативное кольцо, и поле является его подкольцом.

Доказательство. Главные операции алгебры являются продолжениями соответствующих главных операций поля Действительно, в силу формул (I)-(IV) для любых а, b из

Кроме того, элемент 1 алгебры есть единица поля . Следовательно, поле является подалгеброй алгебры

Алгебра есть абелева группа. Действительно, сложение в алгебре (по формуле ) коммутативно и ассоциативно, так как коммутативно и ассоциативно сложение в поле Нуль поля является нейтральным элементом относительно сложения в алгебре , поскольку в силу формул (I), (II) для всякого элемента из К

Всякий элемент из К обладает противоположным, так как Таким образом, установлено, что алгебра является абелевой группой.

Алгебра есть коммутативный моноид. В самом деле, умножение в алгебре (по формуле ) коммутативно в силу коммутативности умножения в поле . Про верим ассоциативность умножения в алгебре :

Следовательно,

Единица поля есть нейтральный элемент относительно умножения в алгебре

так как

Таким образом, установлено, что алгебра является коммутативным моноидом.

Умножение в алгебре дистрибутивно относительно сложения. В самом деле,

Следовательно,

Итак, доказано, что алгебра является коммутативным кольцом. В силу (1) поле является подкольцом кольца .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть — поле, в котором квадрат каждого элемента отличен от —1. Поле называется комплексным расширением поля , если выполняются следующие условия:

(1) есть подполе поля

(2) в имеется такой элемент и, что

(3) каждый элемент поля можно представить в виде где

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.2. Пусть — поле, в котором квадрат каждого элемента отличен от —1. Пусть — комплексное расширение поля — элемент поля , удовлетворяющий условиям (2) и (3) предыдущего определения. Тогда любой элемент поля можно единственным образом представить в виде где

Доказательство. Пусть z — любой элемент поля . Рассмотрим два произвольных представления в виде

где

Если Следовательно, Однако это противоречит условию, согласно которому квадрат каждого элемента поля F отличен от —1. Таким образом, случай, когда невозможен. Следовательно, b — d и в силу

ТЕОРЕМА 7.3. Пусть — поле, в котором квадрат всякого элемента отличен от —1. Тогда существует комплексное расширение поля

Доказательство. Пусть К — множество всех линейных многочленов над полем от переменной

На множестве К отношение равенства и операции определяются с помощью формул (I)-(V). По теореме 7.1, алгебра

есть коммутативное кольцо, и поле является подкольцом кольца

Докажем, что кольцо является полем. В силу (2) нуль и единица поля являются нулем и единицей кольца поэтому Нам остается показать, что для всякого ненулевого элемента из К существует в обратный ему. Пусть где Тогда или Поэтому ибо в противном случае или что по условию теоремы невозможно. В силу формул (II) и (V) имеем

т. е. элемент обратим в . Следовательно, кольцо Ж является полем.

Элемент t из К удовлетворяет условию В самом деле, в силу формул (V) и (II) имеем

Наконец, в силу (2) поле является подполем поля . Следовательно, поле является комплексным расширением поля

ТЕОРЕМА 7.4. Пусть — поле, в котором квадрат любого элемента отличен от —1. Пусть — комплексные расширения поля Тогда существует изоморфизм поля Ж на поле оставляющий неизменными все элементы поля .

Доказательство. В существует элемент и такой, что и всякий элемент поля единственным образом представим в виде а где Аналогично, в имеется элемент t такой, что и каждый элемент поля единственным образом представим в виде где Обозначим через отображение К на ставящее в соответствие элементу из К элемент из К. Это отображение является инъективным отображением К на К. Кроме того, сохраняет главные операции поля . Действительно, так как

то

Кроме того, для любого элемента а поля . Таким образом, есть изоморфное отображение поля на поле оставляющее неизменными все элементы поля