В кольце 
рассмотрим полиномы
и их разность 
. Легко видеть, что
где 
. Отметим, что
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть 
— полином над полем 
. Полином
называется формальной производной полинома f и обозначается через 
или 
ТЕОРЕМА 4.1. Пусть 
— кольцо полиномов над полем 
— любые полиномы из 
тогда:
(4) 
при любом натуральном 
.
Доказательство. (1) Пусть 
тогда
Поэтому 
следовательно,
(2) Положим 
тогда
Отсюда получаем
следовательно,
(3) Формула (3) непосредственно следует из формулы (2) при 
так как в этом случае 
(4) Доказательство формулы (4) проводится индукцией по 
на основании формулы (2).
— кольцо полиномов от 
над полем 
. Пусть 
— простое трансцендентное расширение кольца 
при помощи у. Кольцо 
будем обозначать также через 
. Здесь элементы кольца 
если они являются элементами кольца 
будем обозначать через 
если же они являются элементами кольца 
то через 
и т. д.
