§ 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Собственные векторы и собственные значения.
Пусть 
-векторное пространство над полем и 
— линейный оператор этого пространства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор 
называется собственным вектором оператора 
если 
к вектор 
равен произведению скаляра и вектора а.
Скаляр 
называется собственным значением оператора 
если существует такой ненулевой вектор а, что 
Если а — собственный вектор оператора 
, то существует единственный скаляр 
удовлетворяющий условию 
Действительно, если 
то из равенства 
следует 
. Поэтому, если 
говорят, что вектор а принадлежит собственному значению 
.
Примеры. 1. Пусть 
есть ненулевое векторное пространство над полем и 
— фиксированный скаляр. Определим отображение 
полагая 
для любого 
Легко видеть, что 
есть линейный оператор пространства 
; он называется оператором гомотетии с коэффициентом 
. Скаляр 
есть собственное значение оператора 
и притом единственное. Любой ненулевой вектор пространства 
есть собственный вектор оператора 
принадлежащий собственному значению X.
2. Пусть 
— векторное пространство действительных функций одной переменной, определенных на R и неограниченно дифференцируемых; 
есть пространство над полем действительных чисел 
Обозначим через 
оператор дифференцирования, ставящий в соответствие каждому элементу 
его производную Легко видеть, что оператор дифференцирования есть линейный оператор пространства 
. Если 
, то функция 
есть собственный вектор оператора дифференцирования, так как 
Таким образом, любое действительное число является собственным значением оператора дифференцирования.
3. Пусть 
— двумерное векторное пространство над полем действительных чисел 
Обозначим через 
оператор поворота, ставящий в соответствие каждому вектору пространства 
вектор, образующий с исходным вектором угол а. Легко видеть, что 
есть линейный оператор пространства 
, который не имеет собственных векторов, если 
, где k — целое число.
Обозначим через 
тождественный оператор векторного пространства 
. Если 
— линейный оператор пространства 
— любой скаляр, 
то легко видеть, что 
является линейным оператором пространства 
.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.1. Пусть 
— линейный оператор векторного пространства 
— собственное значение этого оператора. Множество всех собственных векторов оператора 
совпадает с множеством 
.
Доказательство. Согласно определению ядра,
Если
Таким образом, любой ненулевой вектор множества 
является собственным вектором оператора 
Пусть b — любой собственный вектор оператора 
принадлежащий 
, т. е. 
тогда
Следовательно, 
и так как 
, то
