Нейтральные элементы.

Пусть Т — бинарная операция на множестве .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент из А называется левым нейтральным относительно операции если для любого а из А выполняется равенство Элемент из А называется правым нейтральным относительно операции если для любого а из имеем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент из называется нейтральным относительно операции если для любого элемента а из верны равенства

ТЕОРЕМА 1.1. Если нейтральный элемент относительно бинарной операции Т существует, то он единствен.

Доказательство. Пусть — нейтральные элементы относительно Т. Тогда т. е. .

СЛЕДСТВИЕ 1.2. Если нейтральный элемент относительно операции Т существует, то все левые и правые нейтральные элементы относительно Т с ним совпадают.

Примеры. 1. Число 0 есть нейтральный элемент относительно сложения целых чисел. Число 1 есть нейтральный элемент относительно умножения целых чисел.

2. Пустое множество есть нейтральный элемент относительно операции объединения множеств. Универсальное множество является нейтральным элементом относительно операции пересечения множеств.

3. Рассмотрим множество Ф отображений непустого множества на его непустое собственное подмножество В и операцию — композицию отображений. Множество Ф не имеет ни одного правого нейтрального элемента. Всякий элемент такой, что для любого из В, является левым нейтральным элементом относительно рассматриваемой операции.

Регулярные элементы. Пусть Т — бинарная операция на множестве .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент ее называется регулярным справа относительно операции если для любых элементов b, с множества А из следует Элемент называется регулярным слева относительно Т, если для любых элементов b, с множества А из следует

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент называется регулярным относительно операции если он регулярен слева и справа относительно Т.

Таким образом, в случае регулярности элемента а в равенствах типа и возможно «сокращение» на а.

Примеры. 1. Всякое целое число регулярно относительно сложения.

2. Всякое целое число, отличное от нуля, регулярно относительно умножения; число нуль не регулярно относительно умножения.

ТЕОРЕМА 1.3. Если элементы а и b регулярны относительно ассоциативной операции Т, то их композиция также является регулярным элементом относительно

Доказательство. Пусть а и b — элементы, регулярные относительно Пусть с, d — элементы из А, удовлетворяющие условию

Поскольку операция Т ассоциативна, . В силу регулярности элемента а имеем Отсюда в силу регулярности элемента b следует равенство

Итак, для любых элементов с, d множества А из (1) следует (2), следовательно, элемент регулярен справа. Аналогично убеждаемся, что этот элемент регулярен слева.