§ 2. АЛГЕБРЫ

Понятие алгебры.

Дадим определение основного понятия курса алгебры.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгеброй называется упорядоченная пара где — непустое множество и Q — множество операций на А.

Таким образом, алгебра определяется двумя множествами:

непустым множеством А, обозначаемым также через это множество называется основным множеством алгебры а его элементы — элементами алгебры

множеством операций Q, определенных на и называемых главными операциями алгебры

Если — алгебра, то говорят также, что множество А есть алгебра относительно операций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебры называются однотипными, если существует инъективное отображение множества на , при котором любая операция из и соответствующая ей при отображении операция из имеют один и тот же ранг.

Наиболее частым является случай, когда множество О конечно, т. е. . В этом случае вместо записи

обычно употребляется запись

Если среди главных операций алгебры есть нуль-местные, например — элементы, которые они выделяют в , то употребляется также запись

При этом выделенные элементы — значения главных нульместных операций — называются выделенными или главными элементами алгебры

Типом алгебры называется последовательность где — ранг операции . Алгебры являются однотипными, если их типы совпадают, т. е. ранг операции совпадает с рангом соответствующей операции для

Примеры. 1. Пусть (сложение и умножение) — арифметические операции на множестве Z целых чисел. Алгебра является алгеброй типа (2,2).

2. Пусть суть арифметические операции на множестве N натуральных чисел. Алгебра есть алгебра типа (2,2).

3. Пусть — множество всех подмножеств непустого множества U и суть операции пересечения, объединения и дополнения над подмножествами множества V. Алгебра является алгеброй типа (2, 2, 1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра типа (2,0), где А — произвольное непустое множество, — ассоциативная бинарная операция на — нейтральный элемент относительно называется моноидом.

Пример. Пусть М — любое конечное непустое множество, — множество всех отображений М в М, — операция композиции отображений М в — тождественное отображение М в М.

Тогда — моноид.