Индексы по простому модулю.
Пусть g есть первообразный корень по модулю 
. Тогда числа
образуют приведенную систему вычетов по модулю 
. Поэтому любое число а, взаимно простое с 
, сравнимо с одним и только с одним из чисел ряда (1).
Если 
то k называется индексом числа а по модулю 
при основании g и обозначается символом 
а или 
. Если k — другое число, для которого 
, то 
и, согласно предложению 
Таким образом, множество индексов данного числа а образуют класс вычетов по модулю 
Из определения индекса вытекает, что из 
следует 
Пример. Пусть 
Число 2 есть первообразный корень по модулю 13. Индексы чисел 
при основании 
таковы:
С помощью этой таблицы по данному числу а находится его индекс по модулю 13. Следующая таблица позволяет по данному индексу находить соответствующее число:
С помощью индексов умножение по модулю 
можно свести к сложению по модулю 
аналогично тому, как, используя логарифмы, можно свести обычное умножение чисел к сложению.
ТЕОРЕМА 5.12. Если числа а, b взаимно простые с 
— любое натуральное число, то
Доказательство. По определению индексов чисел а и b имеем:
отсюда находим произведение
Следовательно, 
есть один из индексов произведения 
т. е.
Из сравнения 
следует, что
поэтому 
есть один из индексов степени 
, т. е.
Примеры. 1. Пусть 
тогда 
2. Решить сравнение 
Данное сравнение равносильно такому:
Отсюда следует, что 
ТЕОРЕМА 5.12. Пусть 
— мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с 
и С есть аддитивная группа классов вычетов по модулю 
Отображение 
, ставящее в соответствие каждому элементу а группы 
элемент 
а группы С, есть изоформизм группы 
на группу С.
Доказательство. Согласно определению индекса, соответствие 
является биективным. Кроме того, сохраняется операция умножения в группе 
так как из сравнения
следует, что
Следовательно, 
есть изоморфизм группы на группу С.
В обычной арифметике основой теории логарифмов является изоморфизм мультипликативной группы положительных действительных чисел и аддитивной группы всех действительных чисел. Доказанная теорема, являющаяся основной в теории индексов, объясняет причину сходства теории логарифмов (в обычной арифметике) и теории индексов (по простому модулю).
