Наименьшее подкольцо кольца.
Подкольцо, порожденное единицей кольца 
, содержится в любом подкольце этого кольца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подкольцо кольца 
, порожденное его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца 
.
Пусть 
— единица кольца 
— наименьшее подкольцо кольца 
. Тогда Е является основным множеством кольца 
. Легко проверить, что кольцо 
является пересечением всех подколец кольца 
.
ТЕОРЕМА 1.9. Пусть 
— характеристика кольца 
— наименьшее подкольцо этого кольца. Если 
, то 
изоморфно кольцу 
целых чисел. Если же 
, то 
изоморфно фактор-кольцу 
Доказательство. Рассмотрим отображение h множества Z в Е такое, что
В силу (1) h есть отображение множества Z на Е и, кроме того, h сохраняет главные операции кольца 
, т. е.
для любых целых 
. Следовательно, h является эпиморфизмом кольца 
на кольцо 
.
Покажем, что 
. В самом деле, поскольку 
то 
. Далее, если 
то 
значит, 
Кроме того, поскольку 
то 
по теореме 10.3.1. Таким образом, 
следовательно, 
По теореме о кольцевых эпиморфизмах, 
. А так как 
то 
. В частности, 
при 
Следовательно, при 
кольцо 
изоморфно кольцу 
целых чисел.
СЛЕДСТВИЕ 1.10. Пусть 
— область целостности характеристики 
Тогда 
— наименьшее подкольцо кольца 
— является полем.
Доказательство. Поскольку 
то, по теореме 1.7, 
— простое число. Следовательно, по теореме 
— поле. В силу теоремы 1.9 кольцо Ш изоморфно полю 
и, значит, само является полем
