§ 4. ОБРАТИМЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Обратимые операторы.

Пусть — линейный оператор векторного пространства и — тождественный оператор этого пространства. Оператор называется обратимым, если существует такой линейный оператор пространства что

Оператор , удовлетворяющий условиям (1), существует только один. Действительно, если оператор удовлетворяет условиям , то

Линейный оператор удовлетворяющий условиям (1), называется обратным к оператору и обозначается

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть — линейный оператор конечномерного ненулевого векторного пространства . Тогда следующие условия равносильны:

Доказательство. Пусть — обратимый оператор и — оператор, обратный . Докажем, что инъективно, т. е. для любых из следует Действительно, если то

Кроме того, есть отображение на V, т. е. для любого существует прообраз. Действительно,

т. е. есть прообраз элемента а при отображении

Если есть инъекция, то нулевой вектор 0 имеет единственный прообраз при отображении т. е.

Если Кегф то размерность ядра оператора равна нулю, т. е. дефект

Если дефект , то по теореме 1.4, ранг .

Предположим, что ранг Пусть — фиксированный базис пространства . По теореме 2.6, ранг матрицы равен рангу оператора и, значит, равен . Таким образом, строки матрицы линейно независимы. Следовательно, по теореме 5.1, матрица обратима.

Предположим, что матрица обратима и В — обратная к ней матрица, т. е.

По теореме 2.1, существует линейный оператор пространства такой, что В есть матрица оператора относительно фиксированного базиса, т. е. Кроме того, следовательно,

В силу теоремы 3.3 , поэтому

Согласно теореме 2.1, отсюда следуют равенства , т. е. оператор обратим.