Глава шестнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАМКНУТОСТЬ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Теорема о возрастании модуля полинома.
Пусть 
— кольцо полиномов над полем комплексных чисел 
- его основное множество.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть f — полином положительной степени из с М. Для всякого действительного числа 
существует такое действительное число 
что для любого комплексного числа 
как только 
. Доказательство. Пусть
В силу свойств модуля (теорема 4.7.8)
Следовательно, при 
Положим
Отметим, что при 
выполняются неравенства 
и
На основании 
получаем
Легко видеть, что
Далее, имеем
На основании 
заключаем, что
где 
