Обратимые функции.

Пусть — отображение множества А на В.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется левой обратной к функции если — отображение В на А и Функция, обладающая левой обратной, называется обрати мой слева.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция h называется правой обратной к функции если — отображение В на А и

Функция, обладающая правой обратной, называется обратимой справа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция g называется обратной к функции f, если g — отображение В на Функция, обладающая обратной, называется обратимой. Функция, обратная к функции обозначается символом

Из определений следует: а) если — левая обратная к f функция, то функция f является правой обратной к <р; b) если h — правая обратная к f функция, то функция f является левой обратной к h; с) если функция g — обратная к то функция f является обратной к g; в этом случае функции называются взаимно обратными.

ТЕОРЕМА 3.16. Если f — инъективное отображение множества А на

Доказательство. Пусть f — инъективное отображение множества АЛ на В. Тогда, по теореме 3.13, отношение f - является функцией и для любых условие

равносильно условию

В силу (2) и (1) для любого из А имеем

т. е. . Далее, в силу (1) и (2) для любого у из В

СЛЕДСТВИЕ 3.17. Если f — инъективное отображение множества А на В, то f — обратимая функция, причем функция является обратной к

СЛЕДСТВИЕ 3.18. Если f — подстановка множества А, то

ТЕОРЕМА 3.19. Пусть f — отображение множества А на В, обратимое слева. Любая левая обратная к f функция совпадает с и является также правой обратной к f и f обратима.

Доказательство. Пусть есть левая обратная к f функция, т. е.

По теореме 3.6 и предложению 3.8,

В силу (2) и (1)

следовательно, Кроме того, т. е. функция является также правой обратной к f и, следовательно, f обратима.

ТЕОРЕМА 3.20. Пусть f — отображение множества А на В, обратимое справа. Любая правая обратная к f функция совпадает с и является также левой обратной к f и f обратима.

Доказательство. Пусть есть правая обратная к f функция, т. е.

По теореме 3.6 и предложению 3.8,

В силу (2) и (1)

По теореме 2.1, из следует Кроме того, т. е. функция h является также левой обратной к f и, следовательно, f обратима.

ТЕОРЕМА 3.21. Следующие свойства функции f равносильны:

инверсия f - функции f является функцией;

функция инъективна-,

функция f обратима справа.,

функция f обратима слева;

функции f обратима;

все функции, обратные к f (левые, правые, двусторонние), существуют и совпадают с

Доказательство. По теореме 3.13 свойства (а) и равносильны.

Если f — инъективное отображение А на В, то по теореме 3.14 является отображением В на А и — функция f обратима справа. Следовательно, из следует (с).

Если функция f обратима справа, то, по теореме 3.20, она также обратима слева. Таким образом, из следует (d). Если функция f обратима слева, то, по теореме 3.19, функция f обратима. Следовательно, из следует .

Предположим, что функция f обратима. Тогда она обратима слева и справа. На основании теорем 3.19 и 3.20 все функции, обратные к f, совпадают с

Если выполняется условие (g), то инверсия f - функции является функцией. Таким образом, из следует (а).

Следовательно, свойства равносильны.

ТЕОРЕМА 3.22. Если функции обратимы, то обратима также функция

Доказательство. Пусть f и g — обратимые функции. Тогда их инверсии суть функции и

По теореме 2.3,

Так как — функции, то их композиция есть функция; следовательно, в силу является функцией. Поэтому функция обратима и

На основании равенств (1), (2), (3) заключаем, что функция обратима и