§ 5. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ

Миноры и алгебраические дополнения.

Пусть — поле скаляров и

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подматрицей матрицы А называется матрица, которая получается из А в результате вычеркивания какой-либо совокупности ее строк и столбцов. Подматрица, состоящая из k строк и k столбцов, называется подматрицей порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определитель подматрицы порядка матрицы А называется минором порядка матрицы А.

Минорами первого порядка матрицы А являются ее элементы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определитель матрицы, полученной из квадратной матрицы А вычеркиванием строки и столбца, называется минором элемента и обозначается через Произведение называется алгебраическим дополнением элемента и обозначается через

Отметим, что не зависят от элемента однако зависит от четности суммы

ЛЕММА 5.1. Пусть . Если равны нулю все элементы последней строки (столбца) матрицы А, за исключением, быть может, элемента .

Доказательство. Предположим, что

По определению определителя,

Определим множество равенством

Если , то в силу Следовательно, в сумме (2) равны нулю все слагаемые, которые соответствуют подстановкам из опуская в сумме (2) эти слагаемые, получаем

Рассмотрим следующее отображение множества на

Таким образом, есть ограничение множествбм

Отображение есть инъективное отображение множества на

Так как для т. е. то число инверсий в подстановке равно чнелу инверсий в подстановке ; следовательно,

На основании (5) и (6) равенство (4) можно записать в виде

В последнем равенстве сумма есть минор соответствующий элементу

ЛЕММА 5.2. Если равны нулю все элементы какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы А, за исключением, быть может, одного элемента, то равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение.

Доказательство. Пусть Предположим, что равны нулю все элементы i-й строки матрицы А, за исключением, быть может, элемента

В матрице А будем смещать строку вниз до тех пор, пока она не станет последней, переставляя ее последовательно с соседней (снизу) строкой. Затем столбец полученной матрицы будем смещать вправо, последовательно переставляя его с соседним (справа) столбцом, пока он не станет последним. В результате матрица А перейдет в матрицу

Ввиду условия (1) равны нулю все элементы последней строки матрицы В, за исключением, быть может, элемента Следовательно, по лемме 5.1,

где — минор матрицы А, соответствующий элементу

Матрица В получилась из матрицы А в результате перестановок строк и перестановок столбцов; следовательно, по свойству 4.3 определителей,

и

Из (2) и (3) получаем