Конечные цепные дроби.
Любое рациональное число можно представить в виде 
где а и b — целые числа и 
. Применив к а и b алгоритм Евклида, получим цепочку равенств:
где 
Эту цепочку равенств можно записать в виде 
Пользуясь этими равенствами, можно выразить 
через числа 
Действительно, первое равенство запишем в виде
заменяя здесь 
его выражением из второго равенства, имеем
и т. д. В результате мы получаем
Выражение, стоящее справа в этом равенстве, называют конечной цепной дробью.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конечной цепной дробью называется выражение вида
где 
— целое число, 
— положительные целые числа и 
Цепную дробь (1) обычно сокращенно записывают в виде
Приведенные выше рассуждения показывают, что любое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби.
Пример. Разложим в цепную дробь число 
С помощью алгоритма Евклида находим:
или
Можно показать, что всякое рациональное число обладает единственным представлением в виде конечной цепной дроби.
