Ядро гомоморфизма.

Пусть — мультипликативные группы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть — гомоморфизм группы в группу У. Ядром гомоморфизма называется множество

где — единица группы .

Множество не пусто, так как . Множество замкнуто в группе , так как для любых а, b из

т. е. элементы и принадлежат множеству

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подгруппу группы с основным множеством , где — гомоморфизм группы обозначим

и назовем ядерной группой гомоморфизма или ядром (гомоморфизма)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3. Если — гомоморфизм группы в группу , то является нормальным делителем группы

Доказательство. Выше было показано, что множество замкнуто относительно главных операций группы Кроме того, для любого g из G и любого h из

т. е. . Следовательно, является нормальным делителем группы

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.4. Пусть — гомоморфизм группы в группу У с ядром Для любых а, b из G, если то

Доказательство. Так как — гомоморфизм и то

Следовательно, и

Теорема о гомоморфизмах. Одной из основных в теории групп является следующая теорема о гомоморфизмах.

ТЕОРЕМА 4.5. Пусть f — гомоморфизм группы на группу с ядром Тогда фактор-группа изоморфна группе .

Доказательство. Пусть . Пусть — множество всех смежных классов группы по подгруппе Рассмотрим отображение

определяемое следующим образом:

Так как то значение не зависит от выбора представителя а в смежном классе . Отображение сохраняет операцию умножения в группе так как

Следовательно, по теореме является гомоморфизмом группы в группу .

По условию, f есть отображение G на . В силу (1) отсюда следует, что есть отображение на G. Отображение является инъективным. В самом деле, в силу (1) из равенства следует согласно предложению 4.4, отсюда следует Итак, установлено, что есть инъективное отображение на G. Следовательно, является гомоморфизмом факторгруппы на группу .