Доказательство. Из (1) следует, что h есть отображение 
на 
. Надо показать, что h сохраняет все главные операции алгебры 
Пусть 
— произвольная главная операция алгебры 
— ассоциированная с ней главная операция фактор-алгебры 
Тогда в силу (1) для любых 
из 
где m — ранг операции 
Следовательно, h является гомоморфизмом алгебры 
на фактор-алгебру 
Отметим, что гомоморфизм h, определяемый с помощью (1), называется естественным гомоморфизмом алгебры 
на фактор-алгебру 
ТЕОРЕМА 2.12. Пусть h — гомоморфизм алгебры 
в алгебру 
и R — такое бинарное отношение на 
что для любых а, b из 
Тогда R является конгруэнцией в алгебре А.
Доказательство. Отношение R есть отношение равнообразности отображения 
силу теоремы 2.4.4 оно является отношением эквивалентности на 
Пусть — произвольная главная операция (ранга 
) алгебры 
и — соответствующая ей главная операция алгебры 
. В силу (1) для любых 
множества 
из
следуют равенства
Предположим, что элементы 
удовлетворяют условиям (2) и, следовательно, условиям (3). Тогда, поскольку h — гомоморфизм 
имеем
Таким образом, из (2) следует равенство
Отсюда, по определению R, получаем
Итак, для любых элементов 
множества 
из (2) следует (4). Следовательно, R является конгруэнцией в 
если R является конгруэнцией относительно каждой главной операции 
алгебры 
, т. е. для любых элементов 
множества 
из
— ранг операции 
— алгебра, R — конгруэнция в 
— фактор-множество множества 
по R. На множестве 
определим 
-местную операцию 
соответствующую операции f из Q, следующим образом:
соответственно в классах эквивалентности 
(см. доказательство теоремы 1.9). Операция 
называется операцией, ассоциированной с операцией 
посредством конгруэнции R. Обозначим через Q множество всех операций, ассоциированных с главными операциями алгебры 
посредством конгруэнции 
— алгебра и R — конгруэнция в 
Алгебра 
называется фактор-алгеброй алгебры 
по конгруэнции R и обозначается через 
Тогда отображение h множества 
такое, что
