§ 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Понятие алгебраической системы.
Пусть А — любое непустое множество.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраической системой называется упорядоченная тройка
где А — непустое множество, 
— множество операции на А и 
— множество отношений на А.
Таким образом, алгебраическая система 
определяется тремя множествами;
непустым множеством А, обозначаемым также через 
это множество называется основным множеством системы 
а его элементы — элементами системы 
;
(b) множеством операций 
определенных на 
и называемых главными операциями системы 
множеством отношений 
заданных на 
и называемых главными отношениями системы 
Если 
— алгебраическая система, то говорят также, что множество 
есть алгебраическая система относительно операций 
и отношений 
Иногда под алгебраической системой понимают пару 
где 
— множество операций на 
— множество отношений на 
. Тогда если 
то система 
является алгеброй. Таким образом, алгебру можно рассматривать как частный случай алгебраической системы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраические системы 
называются однотипными, если однотипны алгебры 
и существует инъективное отображение множества 
на 
при котором любое отношение R из 
и соответствующее ему при отображении отношение 
из 
имеют один и тот же ранг.
Наиболее частым является случай, когда множества 
конечны: 
. В этом случае вместо записи
обычно употребляется запись
При этом последовательность 
где 
— ранг операции 
— ранг отношения 
называется типом системы 
. Алгебраические системы 
,
являются однотипными, если их типы совпадают, т. е.
При этом операция 
системы 
называется соответствующей операции 
системы 
а отношение 
системы 
— соответствующим отношению 
системы 
умножения 
и отношением порядка 
является алгебраической системой 
типа (2,2; 2).
