Ниже приводится доказательство теоремы: для всех 
выполняются неравенства
На основании неравенств (2) могут быть найдены константы а и b для неравенств (1).
Для доказательства неравенств (2) вводится функция 
и устанавливаются оценки сверху и снизу для функции 
число положительных простых чисел, не превосходящих действительного числа 
. В § 1 установлено, что существует бесконечно много простых чисел (теорема Евклида). Следовательно, 
при 
. Лежандр высказал утверждение, что для больших значений 
приближенно равно 
с отношением 
Он доказал следующую теорему: существуют положительные постоянные а и b, 
, такие, что для всех достаточно больших 
