§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ МАТРИЦАМИ

Матрица линейного оператора.

Пусть — конечномерное векторное пространство над полем

— его базис и — линейный оператор пространства

Представим векторы в виде линейных комбинаций векторов базиса (1):

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица

столбец которой есть координатный столбец вектора относительно базиса (1), называется матрицей линейного оператора относительно базиса (1).

Напомним, что обозначает множество всех - матриц над полем

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть - векторное пространство над полем с фиксированным базисом (1). Отображение Ф, ставящее в соответствие каждому линейному оператору пространства его матрицу относительно базиса (1), является биективным отображением множества Нот на множество

Доказательство. Ясно, что — отображение на множество . Докажем, что отображение инъективно, т. е. что для любых из равенства следует равенство . Из следуют равенства

откуда

Согласно следствию 1.2, отсюда следует равенство

Пусть — скаляр, . Обозначим через унарную операцию в множестве ставящую в соответствие каждому линейному отображению линейное отображение :

Эту операцию будем называть операцией умножения на скаляр .

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть — векторные пространства над полем . Алгебра

является векторным пространством над полем

Доказательство. Согласно следствию 1.2, множество замкнуто относительно сложения и унарных операций со, умножения на скаляры из поля

Отметим, что через обозначается унарная операция в множестве , ставящая в соответствие каждому оператору оператор — и через — нулевое отображение в Алгебра является абелевой группой. Действительно, легко проверить, что для любых , выполняются равенства

Кроме того, легко проверить, что для любых

Таким образом, выполняются все аксиомы векторного пространства.

Векторное пространство

будем называть векторным пространством линейных отображений в Т и обозначать через