Упражнения
1. Как изменится матрица линейного оператора, если в базисе 
переставить какие-нибудь два вектора, например и 
2. Докажите, что ранг линейного оператора конечномерного векторного пространства равен рангу матрицы этого оператора.
3. Покажите, что всякий линейный оператор ранга 
конечномерного векторного пространства можно представить в виде суммы 
линейных операторов ранга 1.
4. Пусть 
— векторное пространство всех квадратных матриц второго порядка над полем 
. Покажите, что преобразование 
состоящее в умножении матриц из 
слева на матрицу 
есть линейный оператор. Найдите матрицу оператора 
в базисе
5. Докажите, что линейный оператор 
конечномерного векторного пространства 
, перестановочный с каждым линейным оператором пространства 
есть скаляр, 
. е. существует такой скаляр 
, что 
для любого вектора 
из 
.
6. Пусть 
— произвольный, 
- обратимый линейный оператор конечномерного векторного пространства. Докажите, что 
7. Пусть 
-произвольные линейные операторы конечномерного векторного пространства. Докажите, что:
8. Приведите пример линейных операторов 
двумерного векторного пространства, для которых ранг 
ранг 
9. Докажите, что для любых линейных операторов 
n-мерного векторного пространства выполняется неравенство
10. Пусть 
— линейный оператор векторного пространства 
. Подпространство X пространства называется инвариантным относительно 
если 
Пусть относительно базиса 
оператор 
имеет диагональную матрицу с различными диагональньши элементами. Найдите все подпространства пространства 
, инвариантные относительно 
и покажите, что число их равно 
