Сумма подпространств.

Пусть — подпространства векторного пространства — их основные множества. Множество

обозначается через Легко проверить, что это множество замкнуто в пространстве

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Подпространство пространства с основным множеством называется суммой подпространств и обозначается через

Отметим следующие свойства суммы подпространств, легко вытекающие из ее определения.

СВОЙСТВО 2.4. Если — подпространства векторного пространства то

СВОЙСТВО 2.5. Если — подпространства векторного пространства то

СВОЙСТВО 2.6. Если — подпространство пространства U, то

Пусть — подпространства векторного пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сумма называется прямой суммой подпространств и обозначается через если любой вектор а из можно единственным образом представить в виде

Другими словами, сумма называется прямой, если для любых из из равенство влечет равенства

ТЕОРЕМА 2.1. Сумма подпространств векторного пространства является прямой тогда и только тогда, когда

Доказательство. Предположим, что . Тогда для любого элемента с из верно равенство с из которого следует равенство так как сумма прямая. Следовательно,

Предположим теперь, что Для любых векторов из L и из U равенство влечет соотношения поэтому Следовательно, сумма является прямой.

ТЕОРЕМА 2.2. Сумма подпространств векторного пространства является прямой суммой, если для любых векторов из из равенство

влечет равенства

Доказательство. Предположим, что сумма прямая. Тогда из равенства (1), которое можно записать в виде , следуют равенства

Предположим теперь, что для любых вектороваи соответственно из равенство (1) влечет равенства (2). Каковы бы ни были векторы из из равенство

влечет из которого, по условию, следуют равенства

Таким образом, из (3) следуют равенства

Следовательно, сумма является прямой.