§ 4. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Координатная строка вектора относительно данного базиса.
Пусть 
— векторное пространство над полем 
ТЕОРЕМА 4.1. Пусть
— базис векторного пространства 
Для каждого вектора а из V существует в 
единственный арифметический вектор 
такой, что
Доказательство. Так как система векторов (1) порождает пространство 
то любой вектор а из V можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1) в виде (2). Такое представление единственно. В самом деле, если
— любое представление а в виде линейной комбинации векторов системы (1), то
В силу линейной независимости системы (1) отсюда вытекают равенства
Следовательно, вектор а обладает единственным представлением в виде линейной комбинации векторов базиса (1).
— фиксированный базис пространства 
Коэффициенты 
называются координатами вектора а относительно фиксированного базиса. Вектор 
называется координатной строкой, а вектор 
— координатным столбцом вектора а относительно фиксированного базиса.
