Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.

Пусть — кольцо полиномов от над полем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Поле называется алгебраически замкнутым, если любой полином положительной степени из имеет в поле хотя бы один корень.

ТЕОРЕМА 1.7. Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Доказательство. Пусть — произвольный полином положительной степени из Если то нуль есть корень полинома Допустим, что и положим Пусть — такое положительное число, что

Такое существует в силу теоремы 1.1.

Пусть . В силу теоремы 1.5 функция достигает наименьшего значения на множестве К, т. е. существует такое число а К, что

в частности

Из (1) и (3) получаем

На основании (2) и (4) заключаем, что

Если то, по лемме Даламбера, существует такое комплексное число с, что

Однако последнее неравенство противоречит (5), поэтому случай, когда невозможен. Следовательно, т. е. комплексное число а является корнем полинома f.

СЛЕДСТВИЕ 1.8. Всякий полином из кольца степень которого больше единицы, приводим в кольце

Доказательство. Пусть По теореме 1.7, существует такое, что Тогда, по теореме 14.1.11, делит , т. е. существует такой полином g в что При этом поскольку Таким образом, полином f приводим в кольце

СЛЕДСТВИЕ 1.9. Любой полином f положительной степени из кольца § можно единственным образом представить в виде произведения комплексного числа и нормированных линейных множителей, т. е. в виде

где — корни полинома f (в С) и с — старший коэффициент полинома.

Это утверждение вытекает из следствия 1.8 и теоремы 14.2.11 о разложимости полинома над полем в произведение нормированных неприводимых множителей.

Если в разложении суть все различные корни полинома в С, то это разложение можно представить в виде

Разложение (2) называется каноническим разложением полинома f на неприводимые множители. Число называется показателем кратности корня

СЛЕДСТВИЕ 1.10. Всякий полином f положительной степени из имеет точно комплексных корней, если каждый его корень считать столько раз, какова его кратность.