§ 3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Порядок элемента группы.
Пусть 
— мультипликативная группа, 
— ее единичный элемент и 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Порядком элемента а группы называется наименьшее отличное от нуля натуральное число 
такое, что 
. Если же 
для любого ненулевого натурального числа 
, то а называется элементом бесконечного порядка.
Порядок элемента а группы обозначается через 
Пример. В мультипликативной группе комплексных чисел 
Ниже будет использована следующая теорема (см. теорему 4.4.4 о делении с остатком).
Для целых чисел 
существуют такие целые числа q и 
, что
ТЕОРЕМА 3.1. Пусть 
— порядок (конечный) элемента а мультипликативной группы. Равенство 
где 
— целое числа, выполняется тогда и только тогда, когда 
делит 
.
Доказательство. Предположим, что 
и докажем, что 
делит 
. По теореме о делении с остатком, для чисел пат существуют целые числа q и 
, удовлетворяющие условиям (1). Надо показать, что 
По условию, 
и, по предположению, 
. В силу (1) отсюда следует, что
Так как 
, то из 
следует 
т. е. 
делит 
.
Предположим теперь, что 
делит 
, и докажем, что 
Так как 
делит 
, то 
для некоторого целого k. Следовательно, 
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 3.2. Пусть а — элемент мультипликативной группы, имеющий конечный порядок 
. Равенство 
где 
и s — целые числа, выполняется тогда и только тогда, когда 
делит 
Доказательство. Равенство 
имеет место тогда и только тогда, когда 
. По теореме 
в том и только в том случае, когда 
делит 
. Следовательно, 
тогда и только тогда, когда 
делит 
СЛЕДСТВИЕ 3.3. Пусть а — элемент мультипликативной группы, имеющий конечный порядок 
. Пусть 
и s — целые числа; 
— классы вычетов по модулю 
. Равенство 
выполняется тогда и только тогда, когда 
СЛЕДСТВИЕ 3.4. Пусть а — элемент мультипликативной группы, имеющий конечный порядок 
. Тогда элементы 
различны.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.5. Пусть а — элемент бесконечного порядка мультипликативной группы и 
, s — целые числа. Равенство 
имеет место тогда и только тогда, когда 
Доказательство. Из равенства 
очевидно, следует равенство 
. Предположим, что 
. Если 
например 
, то 
Это невозможно, так как, по условию, элемент а имеет бесконечный порядок. Следовательно, 
.
