В самом деле, для любого 
из 
Полагая в последнем равенстве 
имеем 
, где 
— единица группы 
Кроме того, в силу (1) 
и
На основании (1) и (2) заключаем, что множество Т (G) замкнуто относительно главных операций группы S (G). Следовательно, алгебра 
есть подгруппа группы 
.
ТЕОРЕМА 2.3 (КЭЛИ). Любая группа 
изоморфна подгруппе симметрической группы на множестве G. В частности, каждая конечная группа порядка 
изоморфна подгруппе симметрической группы 
степени.
Доказательство. Пусть 
— совокупность всех левых трансляций множества G. По теореме 2.2, группа 
есть подгруппа группы 
Пусть h — отображение множества G на Т (G), определяемое формулой
Отображение h сохраняет главные операции группы 
. В самом деле, в силу (1) и (2)
Кроме того, h есть инъективное отображение. Действительно, для любых а, b множества G, если 
то 
, где 
— единица группы 
и, значит, 
. Следовательно, h является изоморфизмом группы 
на подгруппу симметрической группы 
на множество G.
— множество всех подстановок множества М, т. е. совокупность всех инъективных отображений множества М на себя. Если f и g — подстановки множества М, то их композиция 
и обратное отображение 
суть подстановки множества М.
является группой.
на 
, композиция подстановок множества М, ассоциативна в силу теоремы 2.2. Тождественная подстановка 
есть нейтральный элемент относительно операции 
Для любой подстановки f множества 
Следовательно, алгебра 
является группой.
называется симметрической группой на множестве М и обозначается через 
Если множество М конечно и состоит из 
элементов, то группа 
называется симметрической группой 
степени и обозначается также через 
— мультипликативная группа. Каждому элементу а группы поставим в соответствие отображение 
множества G на G, определяемое формулой
есть подстановка множества G и называется левой трансляцией G. Множество 
называется множеством левых трансляций 
— симметрическая группа на множестве G. Алгебра 
является подгруппой группы 
имеют место равенства
— единица группы 
