Упражнения
1. Какие из следующих отношений являются функциями? Укажите их области определения и области значений:
Здесь и далее 
- множество всех целых чисел, N — множество всех целых неотрицательных чисел.
2. Пусть 
— двухэлементное множество. Найдите все отображения множества А в себя и укажите, какие из них инъективны.
3. Наймите все отображения множества 
на множество 
4. Докажите, что для каждой функции f и любого множества 
тогда и только тогда, когда 
5. Докажите, что если 
есть такое отображение множества А на А, что 
то 
6. Докажите, что если f — функция и А, Б — множества, то 
. Покажите на примерах, что случай равенства 
может не иметь места.
7. Пусть 
Докажите, что R является отображением множества А в В тогда и только тогда, когда 
и 
8. Докажите, что каждая из следующих функций имеет обратную. Найдите область определения обратной функции:
9. Для любых множеств А, В и С докажите, что:
существует инъективное отображение множества 
на 
существует инъективное отображение множества 
на 
10. Пусть 
- отображение множества А в А. Докажите, что если 
то 
является инъективным отображением множества А на А.
11. Пусть f — отображение из множества А в В. Покажите, что если 
то 
12. Докажите, что для любой функции f выполняются соотношения:
13. Докажите, что если 
то
14. Докажите, что 
для каждой функции 
и любых множеств А и В. Если 
функция, то 
для любых множеств А и В.
15. Пусть 
-отображение множества а в Б и 
-отображение множества В в С. Докажите, что:
если отображение 
инъективно, то и 
инъективно; 
если 
есть отображение А на С, то g есть отображение В на С.
16. Докажите, что отображение 
является инъективным отображением множества А на В тогда и только тогда, когда существует отображение 
такое, что 
17. Докажите, что бинарное отношение 
является инъективным отображением множества А на Б тогда и только тогда, когда 
18. Докажите, что функция f удовлетворяет условию 
Для любых множеств А и Б тогда и только тогда, когда функция 
инъективна.
19. Пусть А и В — конечные множества, состоящие из 
элементов соответственно, и 
Докажите, что существует 
инъективных отображений множества А в Б.
20. Пусть А и Б — конечные множества, состоящие из 
элементов соответственно.
При каких тип существует инъективное отображение множества А в Б?
Сколько существует отображений множества А в Б?
Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств А и Б?
