Покажите, что 
есть кольцо главных идеалов.
2. Пусть 
— кольцо целых гауссовых чисел. Найдите обратимые элементы этого кольца.
3. Докажите, что фактор-кольцо 
кольца целых гауссовых чисел по идеалу (3) есть поле из дезяти элементов.
4. Докажите, что фактор-кольцо 
кольца целых гауссовых чисел по идеалу 
является полем тогда и только тогда, когда 
— простое число, не равное сумме двух квадратов целых чисел.
5. Пусть 
— подкольцо поля комплексных чисел. Покажите, что в кольце 
всякий необратимый элемент, отличный от нуля, разложим на простые множители, но не всегда однозначно. В частности, покажите, Что 
— два разложения числа 4 в произведение простых множителей, причем 2 не ассоциировано с 
.
6. Пусть К — множество всех комплексных чисел вида а 
, где а и b — либо оба целые, либо оба половины нечетных целых чисел. Пусть 
— подкольцо поля комплексных чисел с основным множеством 
. Докажите, что кольцо 
является евклидовым.
7. Докажите, что элемент 
кольца главных идеалов 
простой тогда и только тогда, когда фактор-кольцо 
является областью целостности. 
8. Пусть 
— подкольцо поля действительных чисел с основным множеством 
Докажите, что кольцо 
является евклидовым.
с нечетными знаменателями 
— подкольцо поля 
рациональных чисел.
