Упражнения.

1. Пусть а, b — взаимно ортогональные векторы евклидова пространства. Покажите, что

2. Покажите, что для любых векторов а, b евклидова пространства

3. Пусть - такие векторы евклидова пространства, что Докажите, что векторы и взаимно ортогональны.

4. Докажите, что для любых векторов а, b евклидова пространства

5. Пусть — ненулевые векторы евклидова пространства. Найдите вектор вида , где имеющий наименьшую норму, и покажите, что этот вектор ортогонален к вектору а.

6. Пусть а, b — линейно независимые векторы трехмерного евклидова пространства Докажите, что в пространстве существуют только два вектора с единичной нормой, ортогональных к векторам а и b.

7. Пусть двумерное векторное пространство над полем рациональных чисел со стандартным скалярным умножением. Найдите в ненулевое подпространство, в котором скалярный квадрат любого вектора отличен от единицы.

8. Пусть а, b — линейно независимые векторы евклидова -мерного пространства . Найдите размерность подпространства пространства ортогонального к векторам а и b.

9. Пусть — подпространство -мерного евклидова пространства и -его ортогональное дополнение. Пусть — ортонормированный базис пространства U и — ортонормированный базис пространства . Докажите, есть ортонормированный базис пространства

10. Пусть а, b — векторы евклидова векторного пространства. Докажите, что тогда и только тогда, когда векторы а и b линейно зависимы.

11. Пусть - ортонсрмированная система векторов евклидова пространства Предположим, что для каждого вектора с пространства Докажите, что система векторов является базисом пространства

12. Пусть — подпространства конечномерного евклидова векторного пространства. Докажите, что: