Модуль комплексного числа.

Введем понятие модуля комплексного числа.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Модулем комплексного числа называется арифметический квадратный корень из числа т. е. число Модуль комплексного числа обозначается через или Таким образом, согласно определению,

ТЕОРЕМА 7.8. Для любых комплексных чисел z и и

Доказательство. (1) Если , то и

(2) Если . Так как действительные числа, то из, следует

(3) В силу (1)

Из равенства следует формула (3).

(4) Согласно (3), при

Следовательно,

(5) На основании (1) имеем

Кроме того, если , то . Поэтому следовательно, . На основании формулы (3) и последнего неравенства заключаем, что при

Следовательно,

(6) Так как то в силу Следовательно,

(7) Поскольку число и равно или то неравенство (7) следует из неравенства (6).